Vis at $a^2 \ge 0$ for alle a.
Lemma 2.4.1
$$$
x \lt y \land z \lt 0 \Rightarrow yz \lt xz
$$
omskrivninger:
$$
z \lt 0 \Rightarrow z + (-z) \lt -z \Rightarrow 0 \lt -z
$$
og
$$
x \lt y \Rightarrow x + (-x) + (-y) \lt y + (-y) + (-x) \Rightarrow -y \lt -x
$$
bevis :
$$
-y \lt -x \land 0 \lt -z \Rightarrow \\
(-y)(-z) \lt (-x)(-z) \Rightarrow \\
yz \lt xz
$$
Vi behøver kun at bekymre os om tilfældet $a \lt 0$, men for god ordens skyld er de andre med:
$$ a = 0 \Rightarrow aa = 0 \Rightarrow a^2 = 0 \\ a \gt 0 \Rightarrow aa \gt 0 \Rightarrow a^2 \gt 0 \\ a \lt 0 \Rightarrow 0 \lt aa \Rightarrow 0 \lt a^2 $$
Vis at $a + a = 1a + 1a = (1 + 1)a = 2a$
Vis at $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $$ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = \\ a(a + b) + b(a + b) = \\ a^2 + ab + ba + b^2 = \\ a^2 + 2ab + b^2 $$
a) Vis at hvis $xu = xv$ og $x \ne 0$, så er $u = v$
$xu = xv \Rightarrow x^{-1}xu = x^{-1}xv \Rightarrow u = v$
b) Vis, at hvis $x \ne 0$ og $y \ne 0$, så er $xy \ne 0$.
Lad $x \ne 0$, $y \ne 0$
Antag for modstrid at $xy = 0$
$$
xy = 0 \Rightarrow xyy^{-1} = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow modstrid
$$
c) Vis at der til ethvert $x \ne 0$ findes netop en multiplikativ invers.
Lad $e_1$ og $e_2$ være inverser til $x$
$$
xe_1 = 1 \land xe_2 = 1 \Rightarrow xe_1 = xe_2 \Rightarrow e_1 = e_2
$$
d) Vis at $(x^{-1})^{-1} = x$ $$ (x^{-1})^{-1}(x^{-1}) = 1 \Rightarrow \\ (x^{-1})^{-1}(x^{-1})x = x \Rightarrow \\ (x^{-1})^{-1} = x $$
e) Vis at $(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}$ $$ (xy)^{-1}xy = 1 \Rightarrow \\ (xy)^{-1}xx^{-1}yy^{-1} = x^{-1}y^{-1} \Rightarrow \\ (xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1} $$
f) Vis at $(x/z)(y/v) = (xy)/(zv)$ $$ (x/z)(y/v) = xz^{-1}yv^{-1} = xyx^{-1}v^{-1} = xy(zv)^{-1} = (xy)/(zv) $$
g) Vis at $(x/y)^{-1} = (xy^{-1})^{-1} = x^{-1}(y^{-1})^{-1} = yx^{-1} = (y/x)$
h) Vis at $x/y)/(z/w) = (xw)/(yz)$ $$ $xy^{-1}(zw^{-1})^{-1}(zw^{-1}) = xy^{-1} \Rightarrow \\ xy^{-1}(zw^{-1})^{-1}z = xwy^{-1} \Rightarrow \\ xy^{-1}(zw^{-1})^{-1} = xwy^{-1}z^{-1} = xw(yz)^{-1} \Rightarrow \\ (x/y)/(z/w) = (xw)/(yz) $$
i) Vis at $(x/y) + (z/w) = (xw + zy)/(yw)$ $$ $(x/y) + (z/w) = \\ xy^{-1} + zw^{-1} = \\ x(ww^{-1})y^{-1} + z(yy^{-1})w^{-1} = \\ (xw + zy)(w^{-1}y^{-1}) = \\ (xw + zy)(yw)^{-1} = \\ (xw + zy)/(yw) $$