pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Sektion 2.3

[Matematik/Kalkulus (Lindstroem)/Kapitel 2]

Opgave 1

Er disse mængder opad- og/eller nedadbegrænset?

a) $(1,9)$ : opad og nedad med 1 hhv. 9.

b) $\mathbb{N}$ : nedadbegrænset med enten 0 eller 1. Ikke opadbegrænset jvf. eksempel 2.3. 1

c) $\mathbb{Z}$ : ingen af delene jvf. eksempel 2.3.1

d) $\mathbb{Q}$ : ingen af delene jvf. eksempel 2.3.1

e) $\lbrace x | e^x \lt 5\rbrace$ : opad, vælg x = log5. Ikke nedad.

f) $(\infty,6)$ : opad, ikke nedad. Vælg x = 6.

g) $\lbrace x | sin x \lt 1/2\rbrace$ : ingen af delene. Ligningen sin $x = 1/2$ har feks. løsningerne $\pi/6$, $2 \pi + \pi/6$ osv.

Opgave 2

Er disse mængder opadbegrænsede?

a) $\lbrace 1/n | n \in \mathbb{N}\rbrace$ : Ja, nemlig fordi mængden er hele tal. Vælg n = 1.

b) $\lbrace 1/n | n \in \mathbb{Z}\rbrace$ : Som ovenstående - ja! Den er bare ikke veldefineret da $ 0 \in \mathbb{Z}$.

c) $\lbrace 1/n | n \in \mathbb{R}\rbrace$ : Nej. $1/0.01 \gt 1/0.1$ osv.

Opgave 6

Lad $A$ og $B$ være to ikke-tomme mængder, begrænsede mængder. Vi definerer en ny mængde, $A + B$, ved $$ A + B = \lbrace a + b | a \in A, b \in B\rbrace $$

a) Vis at $sup(A + B) = sup A + sup B$.
Lad $sup A$ og $sup B$ være supremum for $A$ hhv. $B$.
Vi har altså at $a \le sup A, b \le sup B, \forall a \in A, \forall b \in B$
Heraf, og af def., følger at $$ A + B \le sup A + sup B samt \\ A + B \le sup(A + B) \\ $$ Af sup. må der gælde at $sup(A + B) \le sup A + sup B$.
Af def og sup. må der gælde at $sup A + sup B \le sup(A + B)$
Og altså at $sup A + sup B = sup(A + B)$

b) Vis at $inf(A + B) = inf A + inf B$: Beviset forløber på samme måde som ovenstående.

CommentsGuest Name:Comment: