Sektion 2.2

Opgave 1

Vis følgende ligheder.

a) $\sqrt 24 = \sqrt(4 \cdot 6) = \sqrt 4 \cdot \sqrt 6 = 2\sqrt 6$
b) $\sqrt 125 = \sqrt(25 \cdot 5) = 5\sqrt 25$
c) $\frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{(\sqrt 2)^2} = \frac{\sqrt 2}{2}$
d) $\frac{1}{\sqrt 3 - 1} = \frac{\sqrt 3 + 1}{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)} = \frac{\sqrt 3 + 1}{2}$
e) helt samme princip som d)
f) $\sqrt 12 + 2 - \frac{4}{\sqrt 3 - 1} = \frac{\sqrt 36 - 2}{\sqrt 3 - 1} - \frac{4}{\sqrt 3 - 1} = 0$

Opgave 7

Bevis at $\sqrt 3$ er irrationalt.

Helt analogt med beviset på side 87 i bogen:
Lad $\sqrt 3 = a / b$, sig at brøken ikke kan forkortes yderligere $$ \sqrt 3 = a/b \Rightarrow 3b^2 = a^2 \Rightarrow \\ 3 \mid a^2 \Rightarrow \\ 3 \mid a \land 3^2 \in a.prim $$ Skriv $a^2$ som $3^{2}n, n \in \mathbb{N}$ $$ 3b^2 = 3^{2}n \Rightarrow b^2 = 3n \Rightarrow 3 | b^2 $$ modstrid med antagelsen om at brøken $a/b$ er uforkortelig

Opgave 8

Alternativt bevis, eller egentligt ikke, for at $\sqrt 2$ er irrationalt.

a) $\sqrt 2 = a/b \Rightarrow 2 = a^2/b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2$
b) Da a og b er kvadreret, indeholder de to af hvert primtal i deres faktorisering. Derfor er det ene 2-tal på venstresiden ikke matchbart på højresiden. 2 er et primtal.
c) Da en primtalsfaktorisering er entydig, er $a \ne b$ - altså en modstrid.

Opgave 9

Brug ideen fra forrige opgave til at vise, at hvis $n \in N$ ikke er et kvadrattal, kan $ \sqrt n $ ikke være rational.

Det eneste der skal tilføjes til fremgangsmåden i forrige opgave, er det faktum at et ikke-kvadrattal indeholder et ulige antal af en af faktorerne i dettes primtalsfaktorisering.

Opgave 10

a) Vis at $log_{10}2$ er irrational.
Husk: $log_{10}2$ er løsningen til $10^x = 2$
Lad $a/b$ være en uforkorteligt rationel brøk
Vi regner: $$ 10^{a/b} = 2 \Rightarrow 10 = \sqrt 2^{a/b} = 2^{b/a} \Rightarrow 10^a = 2^b \Rightarrow modstrid $$ da $5 | 10^a \forall a \in \mathbb{N}$, men $5 \not \mid 2^b$ for et eneste b$ \in \mathbb{N}$
Læg mærke til at vi skifter mængde. Dette kan lade sig gøre da $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$. Modstriden følger af aritmetikkens fundamentalsætning.

b) For hvilke hele tal, $b$, er $log_{10}b$ rationelt?
Alle tal, $b$, hvor $10 | b$ eller $5 | b$ og $2 | b$.

c) Kan du formulere og bevise et kriterium for hvornår $log_{a}b$ er rationelt - begge er naturlige tal.
Når $b | a$ eller $a | b$. Beviset herfor følger umiddelbart af opgave a):
Lad $x/y$ være et rationelt tal. Dvs. $x, y \in \mathbb{Z}$
Vi får: $a^x = b^y \iff a | b \lor b | a$