Sektion 1.2

For følgende 2 opgaver skal vi bruge en lillehjælpesætning, eller lemma:
Lemma 1.2.1:
Lad $a | b \land a | c$ $$ b = ak_1 \land c = ak_2 \Rightarrow \\ b + c = ak_1 + ak_2 \Rightarrow \\ b + c = a(k_1 + k2) \Rightarrow \\ a | b + c $$
Derudover, lad et lige og ulige tal være givet ved $2k$ hhv. $2k + 1$, $k \in N$.

Opgave 5

Vis at n^5 - n | 5 for alle naturlige tal n.
Lad $n \in \mathbb{N}$
Induktionsstart: $$ 1^5 - 1 = 0 | 5 $$ Lad nu $n^5 - n | 5$
Induktionskridt: $$ (n + 1)^5 - (n + 1) = \\ n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - n - 1 = \\ (n^5 - n) + 10n^3 + 10n^2 + 5n \\ $$ Givet antagelsen og lemma 1.2.1 - 5 går op i alle dele af summen og derfor hele summen.
*potensen er regnet i maple med expand((n+1)^5)

Opgave 6

Vis at $n(n^2 + 5) | 6$.
Lad $n \in \mathbb{N}$
Induktionsstart: $$ 1(1^2 + 5) = 6 | 6 $$ Induktionsskridt:
Lad nu $n(n^2 + 5) = 6m$ for $m \in \mathbb{N}$ $$ (n + 1)((n + 1)^2 + 5) = \\ (n + 1)(n^2 + 2n + 1 + 5) = \\ n^3 + 2n^2 + 6n + n^2 + 2n + 6 = \\ n(n^2 + 5) + 3n^2 + 3n $$ Herfra bliver det lidt besværligt. Vi er interesseret i de sidste to summer. Vi deler sidste del af beviset op i to muligheder, nemlig den hvor n er lige, og den hvor n er ulige.
Lad $n = 2k$ $$ 3n^2 + 3n = 3(2k)^2 + 3(2k) = 6(2k^2) + 6k | 6 $$ Lad $n = 2k + 1$ $$ 3n^2 + 3n = 3(2k + 1)^2 + 3(2k + 1) = \\ 3((2k)^2 + 4k + 1) + 6k + 3 = \\ 6(2k^2) + 6(2k) + 3 + 6k + 3 = \\ 6(2k^2) + 6(2k) + 6k + 6 | 6 $$ Det meste følger af lemma 1.2.1.