pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Sektion 1.1

[Matematik/Kalkulus (Lindstroem)/Kapitel 1]

Opgave 1

Skriv tallen som produkter af primtal.

a) $2442$ $$2442 / 2 = 1221 \\ 1221 / 11 = 111 \\ 111 / 3 = 37 \\ 2442 = 37 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2 $$

b) $3600$ $$ 3600 / 2 = 1800 \\ 1800 / 2 = 900 \\ 900 / 2 = 450 \\ 450 / 2 = 225 \\ 225 / 5 = 45 \\ 45 / 5 = 9 \\ 9 / 3 = 3 \\ 3600 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4 $$

c) $17017$ $$ 17017 / 17 = 1001 \\ 1001 / 11 = 91 \\ 91 / 7 = 13 \\ 17017 = 13 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \\ $$

d) $513$
$$ 513 / 3 = 171 \\ 171 / 19 = 9 \\ 9 / 3 = 3 \\ 513 = 3^2 \cdot 19 \cdot 3 \\ $$

e) $773$ $$773$$ er et primtal

Opgave 2

Forklar hvordan du ved brug af aritmetikkens fundamentalsætning kan vise at $11 \cdot 17 \cdot 19 \ne 81 \cdot 43$

Svar : Da $43$ er et primtal, og da $43$ ikke går på i $11 \cdot 17 \cdot 19$ (primtalsfaktorisering er entydig), gælder den ovenstående ulighed.

Opgave 3

Skriv summene uden sumtegn og udregn værdierne.

...

Opgave 10

For $a,b \in \mathbb{Z}$ gælder at $a \equiv b \mod n$ hvis $a - b$ er delelig med $n$.

a) Vis at hvis $a \equiv b \mod n$ og $b \equiv c \mod n$, så er $a \equiv c \mod n$
Lad $a \equiv b, b \equiv c$
Nu får vi: $$ a - b = nm_1 \land b - c = nm_2 \Rightarrow \\ a - b + b - c = n(m_1 + m_2) \Rightarrow \\ a - c = nm_3 \Rightarrow \\ a \equiv c \mod n $$ for $m_1, m_2, m_3 \in \mathbb{Z}$.

Herfra lader vi "mod n" være implicit.

b) Vis at hvis $a \equiv b$ og $c \equiv d$, så er $a + c \equiv b + d$ og $ac \equiv bd$
Lad $a \equiv b og c \equiv d$
vi får: $$ a - b = nm_1 \land c - d = nm_2 \Rightarrow \\ a - b + c - d = n(m_1 + m_2) \Rightarrow \\ (a + c) - (b + d) = n(m_1 + m_2) \Rightarrow \\ a + c \equiv b + d $$ for $m_1, m_2 \in \mathbb{Z}$
samt: $$ a - b = nm_1 \land c - d = nm_2 \Rightarrow \\ (a - b)c = (nm_1)c \land (c - d)b = (nm_2)b \Rightarrow \\ ac - bc = nm_3 \land cb - db = nm_4 \Rightarrow \\ ac - bc + cb - db = n(m_3 + m_4) \Rightarrow \\ ac - db = nm_5 \Rightarrow \\ ac \equiv db $$ hvor $a, b, c, d, m_1, ... \in \mathbb{Z}$.

Til den sidste er brugt at produktet af to hele tal igen er et helt tal.

Vis at $a \equiv b$ hvis og kun hvis $a$ og $b$ giver samme rest divideret med $n$.
Mod højre: $$ a - b = nm_1 \land b = nm_2 + r \Rightarrow \\ a = nm_1 + b \land b - r = nm_2 \Rightarrow \\ a = nm_1 + b \land b = nm_2 + r \land b \equiv r \\ $$ Mod venstre: $$ a = nm_1 + r \land b = nm_2 + r \Rightarrow \\ a - b = nm_1 + r - (nm_2 + r) \Rightarrow \\ a - b = n(m_1 - m_2) \\ $$ Til beviset er brugt at $b \equiv r$ implicerer at de giver samme rest i beviset - de deler restklasse.

CommentsGuest Name:Comment: