pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Eksponential

13-10-2015|Elementære funktioner

Eksponeltialfunktionen er typisk brugt til at tilskrive renter til et beløb. Dette vil jeg dog ikke gå så meget i dybden med. Generelt er en eksponentialfunktion givet på formen:

f(x) = a^{x}, a .gt 0, x .isin setR

At værdien a > 0 skal være opfyldt, giver mening hvis vi prøver at plotte en graf for en eksponentialfunktion med a < 0 - feks f(x) = (-2)^{x}. Dette burde ikke kunne lade sig gøre da hver værdi f(x) for et lige x vil være posititiv, og hver værdi f(x) for et ulige x vil være negativ. Vi ville altså få en form for et zigzagmønster.
Vi kan yderligere tilføje en b-koefficienten som en konstant. Herefter kan vi tale om en eksponential udvikling givet ved:

f(x) = b .sdot a^{x}

hvor b er det såkaldte startbeløb, når vi altså regner med penge. a kaldes for fremskrivningsfaktoren eller grundtallet. x kan så betegne antallet af fremskrivninger. Et eksempel hvor vi kan bruge en eksponentialfunktion til noget pengemæssigt, er følgende: Vi sætter 100 kroner ind i banken. Hvert år tilskriver banken os 5% i rente af de 100 kroner. Dette kan altså skrives som:

f(x) = 100 .sdot (1 + 0.05)^{x} = 100 .sdot 1.05^{x}

Efter 2 år har vi f(2) = 110.25kr. Efter 8 år har vi f(8) = 147.75kr osv. Dette giver følgende graf:

Læg mærke til at det i dette tilfælde ikke rigtigt giver mening at regne tilbage i tiden.

Om eksponenter gælder generelt for et tal a at

a^{0} = 1, a^{1} = a

Alle grafer med b = 1 går altså gennem punktet (0,1). Derudover gælder der for et a > 0 i intervallet 0 < a < 1 at a^x er aftagende. Og for a ≤ 1 at a^{x} er voksende eller konstant. For b < 0 gælder det samme bare omvendt da grafen kommer til at vende ned ad. Her er et par eksempler på grafer for ekponentialfunktioner/eksponentiale udviklinger:

Læg mærke til at den aftagende lillae graf ikke når f(x) ≤ 0. Samtidig har den aftagende lyseblå graf ikke en værdi f(x) ≥ 0.

For eksponentialfunktioner er der et specieltilfælde nemlig den naturlige eksponetialfunktion f(x) = e^x = exp(x). Denne har helt specielt en tangent med hældning 1 i punktet (0,1). Dette er igen relateret til differentialregning og overlades til senere.
Grafen for den naturlige eksponentialfunktion er:

Der knytter sig nogle regneregler til eksponentialfunktioner. De har nemlig en omvendt funktion kaldet logaritmefunktionen. Derudover er der de basale regneregler for potenser, og vi har:

ln(e^{x}) = x e^{ln x} = x log(a^{x}) = x a^{log x} = x ln(a) - ln(b) = ln(a/b) ln(a) + ln(b) = ln(a .sdot b) ; a, b .gt 0 ln(a^{x}) = x .sdot ln(a)
a^{x} .sdot a^{y} = a^{x + y} {a^x}over{a^y} = a^{x - y} (a^{x})^{y} = a^{xy} a^{x} .sdot b^{x} = (a .sdot b)^{x} (a/b)^{x} = {a^x}over{b^x}

De øverste identiteter knytter sig til logaritmer hvor log betegner 10-talslogaritme og ln betegner den naturlige logaritme. De nederste er bare potensregneregler.