pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Eksponential

13-10-2015

Eksponeltialfunktionen er typisk brugt til at tilskrive renter til et beløb. Dette vil jeg dog ikke gå så meget i dybden med. Generelt er en eksponentialfunktion givet på formen: $$f(x) = a^{x}, a \gt 0, x \in \mathbb{R}$$

At a > 0 skal være opfyldt, giver mening hvis vi prøver at plotte en graf for en eksponentialfunktion med a < 0 - feks. \(f(x) = (-2)^{x}\). Dette burde ikke kunne lade sig gøre da hver værdi f(x) for et lige x vil være posititiv, og hver værdi f(x) for et ulige x vil være negativ. Vi ville altså få en form for et zigzagmønster.
Vi kan yderligere tilføje en b-koefficienten som en konstant. Herefter kan vi tale om en eksponential udvikling givet ved: $$f(x) = b \cdot a^{x}$$ hvor b er det såkaldte startbeløb, når vi altså regner med penge. a kaldes for fremskrivningsfaktoren eller grundtallet. x kan så betegne antallet af fremskrivninger. Et eksempel hvor vi kan bruge en eksponentialfunktion til noget pengemæssigt, er følgende: Vi sætter 100 kroner ind i banken. Hvert år tilskriver banken os 5% i rente af de 100 kroner. Dette kan altså skrives som:$$f(x) = 100 \cdot (1 + 0.05)^{x} = 100 \cdot 1.05^{x}$$ Efter 2 år har vi \(f(2) = 110.25kr\). Efter 8 år har vi \(f(8) = 147.75kr\) osv. Dette giver følgende graf:

Læg mærke til at det i dette tilfælde ikke rigtigt giver mening at regne tilbage i tiden.

Om eksponenter gælder generelt for et tal a at $$a^{0} = 1, a^{1} = a$$ Alle grafer med b = 1 går altså gennem punktet (0,1). Derudover gælder der for et \(a \gt 0\) i intervallet \(0 \lt a \lt 1\) at \(a^x\) er aftagende. Og for \(a \leq 1\) at \(a^{x}\) er voksende eller konstant. For \(b \lt 0\) gælder det samme bare omvendt da grafen kommer til at vende ned ad. Her er et par eksempler på grafer for ekponentialfunktioner/eksponentiale udviklinger:

Læg mærke til at den aftagende lillae graf ikke når \(f(x) \le 0\). Samtidig har den aftagende lyseblå graf ikke en værdi \(f(x) \ge 0\).

For eksponentialfunktioner er der et specieltilfælde nemlig den naturlige eksponetialfunktion \(f(x) = e^x = exp(x)\). Denne har helt specielt en tangent med hældning 1 i punktet \((0,1)\). Dette er igen relateret til differentialregning og overlades til senere.
Grafen for den naturlige eksponentialfunktion er:

Der knytter sig nogle regneregler til eksponentialfunktioner. De har nemlig en omvendt funktion kaldet logaritmefunktionen. Derudover er der de basale regneregler for potenser.

Regneregler/Identiteter for logaritmer

$$ln(e^{x}) = x$$ $$e^{ln x} = x$$ $$log(a^{x}) = x$$ $$a^{log x} = x$$ $$ln(a) - ln(b) = ln(a/b)$$ $$ln(a) + ln(b) = ln(a \cdot b)\ hvor\ a, b \gt 0$$ $$ln(a^{x}) = x \cdot ln(a)$$

Regneregler/Identiteter for eksponentialfunktioner

$$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$$ $$\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$$ $$(a^{x})^{y} = a^{xy}$$ $$a^{x} \cdot b^{x} = (a \cdot b)^{x}$$ $$(a/b)^{x} = \frac{a^x}{b^x}$$

De øverste identiteter knytter sig til logaritmer hvor \(log\) betegner 10-talslogaritme og \(ln\) betegner den naturlige logaritme. De nederste er bare potensregneregler.