pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Reciprok

13-10-2015|Elementære funktioner

Et tal i en mængde har et tilsvarende reciprokt element hvis mængden er et tallegeme. Dette inkludere nemlig at der for etvhert element x i mængden eksisterer et tal r, så xr = 1.
r = x^{-1} kan skrives som en brøk, altså hvis vi har tallet 2 .isin setR, har det et tilhørende reciprokt element og der gælder:

2 .sdot {1}over{2} = 1

Andre eksempler på reciprokke elementer:

3 {1}over{2} .sdot {2}over{7} = 1 , -3 .sdot {-1}over{3} = 1

En reciprok funktion er givet på formen

f(x) = {1}over{x}

hvis D_{f} = setR .setminus {0}, det samme gælder for V_{f} . En meget vigtig lektie at tage med sig fra denne funktion er nemlig at man aldrig i nogen sammenhæng må dividere med 0.

Grafen for en reciprokfunktion er en hyperbel - en dobbeltkurve eller to kurver der vender ryggen mod hinanden. Ved lave værdier for x vil f(x) give meget, uendeligt, store værdier. For meget store værdier af x vil f(x) give meget små værdier. Funktionsværdien vil komme vilkårligt tæt på 0, uden nogen sinde at nå 0, når vi går uendeligt langt ud ad x-aksen. På samme måde vil grafen nærme sig y-aksen når vi går vilkårligt tæt på x = 0. Dette fænomen kaldes for at kurven for f(x) har en vandret hhv. lodret asymptote.

Et par eksempler på grafer for reciprokke funktioner:

Hver af funktionerne består altså af to grafer, og hver af graferne dækker intervallet ]0, ∞[ og ]0, -∞[

Omvendt proportionalitet.
To størrelser er omvendt proportionale hvis den ene aftager i samme takt som den anden vokser. Det kan også siges som, at når den ene størrelse bliver dobbelt så stor, bliver den anden halvt så stor. Konkret kan det forstås som en lagkage der skal deles. Hvis der kun kommer mig, er der en hel lagkage til mig. Hvis begge mine brødre kommer, er der kun 1/3 lagkage til mig. Hvis der kommer 10 andre mennesker, er der kun 1/13 lagkage til mig osv. Denne sammenhæng kan forstås som at vi er 13 mennesker med hver 1/13 del lagkage hvilket giver anledning til fødselsdag og produktet 1/13 ⋅ 13 = 1. Altså er den mængde af lagkage vi hver får, omvendt proportional med det antal vi møder op.

Definition
To størrelser x og y er omvendt proportionale hvis deres produkt er konstant. Dvs hvis xy = k hvor k er en konstant. I så fald er regneforskriften for y givet ved

y = f(x) = {k}over{x}

Til sidst er her nogle identiteter forbundet med brøkregning:

{a}over{b} = {ac}over{bc}

{a}over{b} = {a / c}over{b / c}

{a}over{b} + {c}over{d} = {ad + cb}over{db}

{a}over{b} - {c}over{d} = {ad cb}over{db}

a .sdot {b}over{c} = {ab}over{c}

{a/b}over{c} = {a}over{b} / c = {a}over{bc}

{a}over{b} .sdot {c}over{d} = {ac}over{bd}

{a/b}over{c/d} = {a}over{b} / {c}over{d} = {a}over{b} .sdot {d}over{c}

.radic(a/b) = {\radic a}over{\radic b}

(a/b)^{2} = {a^2}over{b^2}

a = {a}over{1}

...