pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Funktionsteori

14-10-2015

En funktion er en relation \(R(x,y)\) der tilordner et element \(x \in X\) til et element \(y \in Y\). Kald funktionen \(f\), og vi definerer den ved $$f : X \mapsto Y$$ for hvilken gælder:

  1. \(\forall x \in X\ \exists y \in Y : f(x) = y\). Med ord: for ethvert element x i en given definitionsmængde eksisterer et y i en tilhørende værdimængde der er en funktionsværdi af dette x.
  2. \(x_1 = x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2)\). Med ord: der tilordnes kun ét y i værdimængden for hvert x i defintionsmængden.

Dvs. at et ét x ikke kan have to forskellige tilhørende y'er eller funktionsværdier. Grafisk kan det forstås som at grafen for en funktion per definition ikke kan overlappe sig selv, slå knuder eller den slags.

Tillordningen kaldes en afbilledning. \(X\) Kaldes definitionsionsmængden, \(Y\) kaldes sekundærmængden, og de elementer i \(Y\) der er givet ved $$\{x \in X | f(x) \in Y\}$$ kaldes for værdimængden. Denne behøver altså ikke udgøre hele \(Y\).

Af de følgende elementære funktioner kan vi nu angive værdi- og definitionsmængden:

Eks. 1

$$f_{1} : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$$ $$f_{1}(x) = 2x + 3$$ Definitionsmængden er her allerede angivet, den er ℝ, og værdimængden er faktisk den samme da de y-værdier funktionens graf dækker, sammenlagt udgør hele ℝ. Grafen fortsætter både op og ned i det uendelige.

Eks. 2

$$f_{2} : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$$ $$f_{2}(x) = x^{2}$$ Definitionsmængden er igen angivet til at være hele ℝ. Værdimængden er derimod ikke hele ℝ, et tal der er kvadreret, er altid posititivt, så værdimængden udgør her kun den positive del af ℝ altså ℝ+. Dette ses også på grafen:

Eks. 3

$$f_{3} : \mathbb{R} \setminus ]0,- \infty[ \mapsto \mathbb{R}$$ $$f_{3}(x) = \sqrt{x} $$ Her er defintionsmængden angivet til at være ℝ fratrukket intervallet fra 0 til minus uendeligt, de to ikke inkluderet. Vi kan jo ikke tage kvadratroden af et negativt tal. Dette kan også betegnes ℝ+ som også udgør værdimængden, funktionsværdien kan nemlig heller ikke blive negativ:

Eks. 4

$$f_{4} : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $$ $$f_{4}(x) = sin(x)$$

Her er definitionsmængden hele ℝ, tilgengæld er værdimængden intervallet [-1, 1] da funktionsværdierne svinger fra -1 til 1 i perioder:

Når vi beskæftiger os med grafer for funktioner, er det for det meste for funktioner der er defineret på et interval af de reelle tal. De reelle tal er nemlig kontinuerte forstået på den måde at de grafisk set udgør et kontinuum – altså hvis vi lister dem op på en række, er rækken uafbrudt. Denne egenskab er det kun de reelle og de komplekse tal der har. Feks. eksisterer tallet -1 ikke i de naturlige tal, 0.5 ikke i de hele tal, π ikke i de rationelle tal osv.
Som vi lige har set med f(x) = √x kan der være steder på den reelle akse eller række hvor funktionen ikke er defineret. Disse undtagelser er vigtige at forholde sig til når vi skal lave kvalitative undersøgelser af grafer, feks. om de er kontinuerte, kan differentieres osv.

I Maple defineres en funktion ved at skrive et navn og så sætte := bagefter. Derefter sættes et x med en pil over i funkionenen:

f1:=x->2x+3; f2:=x->x^2; f3:=x->sqrt(x); f4:=x->sin(x);

Herefter kan de tegnes enten hver for sig med plot:

plot(f1(x)); plot(f2(x)); plot(f3(x)); plot(f4(x));

eller de kan plottes samlet ved at bruge at array som argument:

plot([f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)])

Vi kan yderligere tilføje navne til hver funktion med legend:

plot([f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)],legend=[2x-3,x^2,sqrt(x),sin(x)]);

Vi kan vælge hvor meget der skal vises af funktionerne, altså i hvilket interval af x og y:

plot([f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)],x=-10..10,y=-10..10,legend=[2x-3,x^2,sqrt(x),sin(x)]);

Og vi kan endda angive farver på funktionernes graf:

plot([f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)],x=-10..10,y=-10..10,legend=[2x-3,x^2,sqrt(x),sin(x)],color=[green,blue,red,yellow]);

Til sidst kan vi angive hvad de to akser skal hedde:

plot([f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)],x=-10..10,y=-10..10,legend=[2x-3,x^2,sqrt(x),sin(x)],color=[green,blue,red,yellow],labels=[en,to]);

Injektiv, surjektiv og bijektiv

En function \(f(x)\) siges at være

  • Injektiv hvis der gælder \(f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}\). Med ord: alle elementer i definitionsmængden sendes over i forskellige elementer i værdimængden.
  • Surjektiv hvis der gælder \(\forall y \in Y\ \exists x \in X : f(x) = y\). Med ord: værdigmængden udgør hele sekundærmængden.
  • Bijektiv hvis \(f\) er både injektiv og surjektiv.

Hvis en funktion er bijektiv, har den en invers.

Eksempler

Funktionen $$f_1 : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$$ $$f_{1}(x) = 10x$$ Er bijektiv. Hvert \(x\) sendes over i et distinkt \(f_1(x)\). Derudover er der et \(x\) så \(f_1(x)\) udgør hele \(\mathbb{R}\).
Funktionen $$f_2 : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^{+}$$ $$f_{2}(x) = x^{2}$$ derimod er ikke injektiv. Feks. er \(f_2(-2) = 4 = f_2(2)\). \(f_2\) er derimod surjektiv.
Funktionen $$f_3 : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$ $$f_{3}(x) = 2x$$ er injektiv, men ikke surjektiv. Værdimængden udgør kun de lige tal af \(\mathbb{N}\).