pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Aritmetiske serier

30-09-2017|Sumfølger

Sum

Har følgende omskrivning:

sum{k=1,n,k} = {n(n + 1)}over{2}

Bevis:

Induktionsstart : n_0 = 1 : 1 = {1 .sdot 2}over{2} = 1 n_0 = 2 : 1 + 2 = 3 = {2 .sdot 3}over{2} Induktionsskridt : Lad sum{k=1,n,k} = {n(n + 1)}over{2} sum{k=1,n+1,k} = sum{k=1,n,k} + n + 1 = {n(n + 1)}over{2} + n + 1 = {n(n + 1) + 2n + 2}over{2} = {n^2 + 3n + 2}over{2} = {(n + 1)(n + 2)}over{2}

Og vi har vist hvad vi skulle.

Sum af kvadrater

Kan skrives som:

sum{k=0,n,k^2} = {n(n + 1)(2n + 1)}over{6}

Bevis:

Induktionsstart : n_0 = 1 : 1^2 = {1 .sdot 2 .sdot 3}over{6} = 1 n_0 = 2 : 1^2 + 2^2 = 5 = {2 .sdot 3 .sdot 5}over{6} Induktionsskridt : Lad sum{k=0,n,k^2} = {n(n + 1)(2n + 1)}over{6} sum{k=0,n,k^2} + (n + 1)^2 = {n(n + 1)(2n + 1)}over{6} + (n + 1)^2 = {n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)^2}over{6} = {(n(2n + 1) + 6(n + 1))(n + 1)}over{6} = {(2n^2 + 7n + 6)(n + 1)}over{6} = {(n + 2)(2n + 3)(n + 1)}over{6} = {(n + 2)(2n + 3)(n + 1)}over{6} = {(n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1)}over{6}

Og vi har vist hvad vi skulle.

Kubiksum

Kan skrives som:

sum{k=0,n,k^3} = {n^2(n + 1)^2}over{4}

Bevis:

Induktionsstart : n_0 = 1 : 1^3 = 1 = {1 .sdot 4}over{4} n_0 = 2 : 1^3 + 2^3 = 9 = {4 .sdot 9}over{4} Induktionsskridt : Lad sum{k=0,n,k^3} = {n^2(n + 1)^2}over{4} sum{k=0,n,k^3} + (n + 1)^3 = {n^2(n + 1)^2}over{4} + (n + 1)^3 = {n^2(n + 1)^2 + 4(n + 1)^3}over{4} = {(n^2 + 4(n + 1))(n + 1)^2}over{4} = {(n^2 + 4n + 4)(n + 1)^2}over{4} = {(n + 1)^2(n + 2)^2}over{4}

Og vi har vist hvad vi skulle.