pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Udsagnslogik

10-06-2015|Udsagnslogik

Her en gennemgang af udsagnslogik.
Udsagnslogik er en logik der har med udsagn og dermed med sprog at gøre. Når vi kommunikerer, foregår det inden for nogle logiske rammer, om vi er klar over det eller ej. Uden logik er alt volapyk kan man måske være lidt fræk at skrive.
I denne gennemgang vil jeg først behandle nogle natursproglige udsagn, noget en person med lidt god vilje kunne have sagt i hverdagen. Efter nogle eksempler på det vil jeg formalisere eksemplerne. Efter formaliseringen vil jeg gennemgå semantik og syntaks (opbygning) af udsagnslogik. Og sidste halvdel af denne gennemgang består så af formelle udregninger i sandhedstabeller og logiske "træer". Jeg har valgt at gemme naturlig deduktion til en anden god gang. Derudover vil jeg også, en anden god gang, gennemgå prædikatlogik.
God fornøjelse!

Indhold:
- Intro til logik
- Udsagnslogisk syntaks
- Udsangslogisk semantik
- Sandhedstabeller
- Semantiske tableauer

Nu når jeg selv har det formelle på plads, vil jeg starte med at præsentere nogle udsagn:

- Det er koldere idag end det var igår.
- Jeg er sikker på at jeg kan høre hvad geden tænker.
- Karsten og Anders har begge fået nye bukser
- Hvis Anders køber blå bukser, begynder Kasper at græde.

Fælles for udsagnene er at de enten er sande eller falske. Det er forholdsvis let at afgøre sandhedsværdien af det første udsagn, det kræver bare at man igår og idag er gået ind på DMIs hjemmeside eller har tjekket temperaturen med et termometer. Hvis det ikke er koldere idag end det var igår, er udsagnet falsk, ellers er det sandt. Det andet udsagn er ret svært at undersøge da dets sandhedsværdi afhænger af min overbevisning. Det kan måske afkræftes hvis man kan bevise at det er umuligt at høre hvad geder tænker, men hvordan kan man det? Det tredje er et komplekst udsagn, for at det skal være sandt, skal både Karsten og Anders have fået nye bukser - vi må altså have fat i dem begge to for at konfirmere. Det sidste udsagn er ligesom det der er over det, komplekst; udsagnets sandhed afhænger først og fremmest af hvad Karsten gør. Det kan udvides på følgende måde:

- Hvis Anders køber blå bukser, begynder Karsten at græde.
- Anders køber blå bukser.
- Altså begynder Karsten at græde.

hvor de to første linjer kaldes præmisser, og den sidste, den med "altså", kaldes en konklusion. "Altså" betyder konklusion i logik En sådan konstruktion af 2 præmisser og 1 konklusion kaldes i logik for en syllogisme.

Vi kan arbejde lidt videre med syllogismen: Vi vil gerne have en formel tilgang til det den indeholder, derfor erstatter vi de logiske dele udsagnene består af, af propositionssymboler og tegn. Først skal det der står, dekonstrueres; der er to personer i første linje, de får hver et propositionssymbol, Anders og Karsten får tildelt et p hhv. et q, og udsagnet bliver dermed til de to atomiske formler: "Kasper køber blå bukser" og "Anders begynder at græde" . Udover personerne er der en "hvis, så" konstruktion - en sådan kaldes for en materiel implikation. Grunden til at udsagnet er komplekst er netop at der optræder en implikation i det - uden den ville "Anders køber blå bukser", "Kasper begynder at græde" være to seperate udsagn, de ville altså være atomiske, og vi ville ikke kunne dekonstruere dem yderligere. At formalisere handler i høj grad om at genkende de forskellige logiske konstruktioner et udsagn består af - og det har vi gjort nu.

De to konstruktionen "hvis, så" samt konstruktionen "og" i sætningen "Karsten og Anders..." er to ud af de i alt fem der indgår i udsagnslogik. De alle fem kaldes for logiske konnektiver og er:

not : negation - "ikke"
and : konjunktion - "og"
or : disjunktion - "eller"
rarr : implikation - "hvis, så"
harr : biimplikation - "hvis, og kun hvis,"

Med dem kan vi formalisere udsagn nummer 3 og 4:

- p and q 
- p rarr q

Derudover syllogismen:

- p rarr q
- p
- there4 p

Tegnet ∴ er det samme som altså - en konklusion. Syllogismen kan også skrives som pned:1:ned, pned:2:ned semantic K hvor pned:1:ned, pned:2:ned er de to præmisser, K er konklusionen, og tegnet semantic betyder at der er en semantisk følgerelation. Ved en logisk følge forudsætter vi at konklusionen K følger af præmisserne hvilket vil sige at K's sandhed er en konsekvens af præmissernes sandhed. Derfor er det umuligt at opnå en logisk følge hvis præmisserne er sande og K falsk. Derfor:

Defintion 1
At konklusionen K følger af præmisserne (pned:1:ned, pned:2:ned, pned:3:ned, ... , pned:n:ned) betyder at det er umuligt at have en logisk gyldig følge hvor præmisserne er sande, og hvor konklusionen K samtidig er falsk.  

Lad os lige vender tilbage til dekontruktioen af første præmis i syllogismen. Jeg skrev at de to atomiske former: "Kasper køber blå bukser" og "Anders begynder at græde" ikke kan dekonstrueres ydereligere. Det kan de heller ikke i udsangslogisk, men istedet kan de konstrueres, husk at sætningen med Kasper har propositionssumbolet p, og at den med Anders har q. Når de er atomiske, er det bare at sætte dem sammen med et konnektiv for at gøre dem komplekse:

- p and q
- p and notq
- not(p and q)
- p or q
- p rarr q
- p harr q

- Ved negation dannes ikke et komplekst udsagn da der ikke nødvendigvis indgår mere end én atomisk formel i en negation. Tilgengæld kan en negation bruges på et komplekst udsagn. Hvis det er tilfældet, siger negationen noget om det andet konnektiv der indgår i udsagnet. En negation siger at det der er negeret, ikke er tilfældet eller ikke sandt - feks. at Kasper køber blå bukser, og at Anders ikke begynder at græde. Eller det er ikke tilfældet at Kasker købet blå bukser og Anders begynder at græde.
- Ved konjunktion siger vi at begge de atomiske formler er tilfældet, altså skal Kasper købe blå bukser, og Anders skal begynde at græde før udsagnet er sandt..
- Ved disjunktion skal mindst én af de to atomiske formler være tilfældet. Feks. er udsagnet "Kasper køber blå bukser, eller Anders begynder at græde" sandt hvis bare en af personerne, eller dem begge, lever op til de atomiske udsagn.
- Ved en implikation forstås at det at Anders begynder at græde, er en logisk følge af at Kasper køber blå bukser.
- Ved biimplikation forstås en implikation der går begge veje, tilfældet p ↔ q er altså det samme som p → q ∧ q → p

Når vi nu har fastlagt de logiske konnektivers betydning, kan vi konstruere lige så komplekse udsagn vi vil. Feks. kan vi tildele udsagnet "Det er koldere i dag end det var igår" proposionssymbolet r, og udsagnet "Jeg er sikker på at jeg kan høre hvad geder tænker" kan vi tildele propositionssymbolet s. Herefter kan vi indføre udsagnene på følgende måde: not(p and q) rarr notr or s - hvilket betyder at hvis det er tilfældet at Anders ikke græder, eller at Kasper ikke har købt blå bukser - hvis det er tilfældet at én af de to tilfælde eller dem begge er opfyldt - er det ikke varmere idag end det var igår, eller også er jeg sikker på at jeg kan høre hvad geder tænker. Hvilket er noget sludder, men det hænger altså sammen i logik så længe jeg 'kan' høre hvad geder tænker, eller så længde det ikke er varmere i dag end det var igår, samtidig med at Anders ikke græder, eller samtidig med at Kasper ikke har købt blå bukser.
Negationen af konjunktionen p ∧ q kan skrives som notp or notq.

Syntaks
En syntaks er den måde et sprog er konstrueret på, i dansk er der feks. regler for hvordan sætninger hænger sammen, hvilket ord der kan indgå i en sætning, og den rækkefølge ord står i i forhold til hinanden - det hele går under betegnelsen grammatik. I udsagnslogik er det lidt på samme måde - der er tre forskellige kategorier af tegn og bogstaver vi kan benytte, nemlig:

- De fem konnektiver
- Paranteser ()
- En mængde af bogstaver eller propositionssymboler til at angive atomiske formler.

Til den sidste kategori kommer jeg senere til at bruge bogstaverne (pned:1:ned, pned:2:ned, pned:3:ned, ... pned:n:ned) om et generelt eksempel - en  ikke tom mængde af ukendt størelse af atomiske formler. I mere konkrete situationer er det normalt at bruge bogstaver fra vores alfabet startende næsten bagfra, altså: p, q, r, s, t... - hvor p, q og r er de mest anvendte.

En velformet formel i udsagnslogik overholder følgende tre betingelser:

- Hvis A er et propositionssymbol, er A en velformet formel
- Hvis A er en velformet formel, er ¬A en velformet formel
- Hvis A og B er velformede formler, så er (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) og (A ↔ B) velformede formler.

Intet andet er velformede formler. Vi kan altså ikke tillade os at skrive noget som )((A rarr harr not rarr ((qqq(((.

En delformel i udsagnslogik overholder følgende tre betingeler:

- A er en delformel af A
- Hvis B er en delformel af A, og B har formen ¬C, så er C en delformel af A.
- Hvis B er en delformel af A, og B har formen (Cned:1:ned and Cned:2:ned), (Cned:1:ned or Cned:2:ned), (Cned:1:ned rarr Cned:2:ned) eller (Cned:1:ned harr Cned:2:ned), så er Cned:1:ned og Cned:2:ned delformler af A.

Intet andet er en delformel.

Semantik
Hvis vi nu siger at vi har et tilfældigt udsagn A. A kan feks. være "Karsten og Anders har begge fået nye bukser", men vi er interesseret i en generel betegnelse og skriver derfor bare A. Derudover har vi en mængde af situationer S. S kan feks. være tid (i dag, i går, på mandag), sted (hjemme, i Netto, Mars eller på Bahamas) eller endda egen subjektive overbevisning om noget (Jeg er sikker på at jeg har ret mht. alt).
Hvis vi udover mængden af situationer, S, og et udsagn A også har en sandhedstrilskrivning, en funktion θ der modtager de atomiske formler udsagnet A består af, vi kalder dem (pned:1:ned, pned:2:ned, pned:3:ned, ... pned:n:ned), og retunerer en sandhedsværdi i forhold til situationerne i mængden S, så kan vi lave en model, M = (S, θ), der indeholder en ikke tom mængde af situationer og en sandhedstilskrivning.
I udsagnslogik arbejder vi ikke med tid eller sted eller overbevisning, det er derfor de to første udsagn på siden kan give nogle sproglige problemer, faktisk er der kun én situation, og det er den aktuelle. Derfor undlader vi at nævne situationer overhovedet i modellen. Det betyder også at vores model opfylder ekstensionalitetsprincippet hvilket vil sige at der kun i modellen er den aktuelle situation.
Udover ekstensionalitetsprincippet overholder vores model også kompositionalitetsprincippet idet sandhedssværdien af udsagnet A afhænger af sanhedsværdierne af de atomiske formler p som A består af. Det skal forstås på den måde at sandhedstilskrivningen foregår på atomiske formler, og at vi derefter bruger semantikken for konnektiverne, der bliver defineret i modellen senere, til at "regne" os frem til resultatet af komplekse udsagn. Sandshedstilskrivningen medfører også at de atomiske formler er enten sande eller falske hvilket kaldes bivalensprincippet. En mere avanceret sandhedstilskrivning kan feks. medføre grader af sandhed som i: "Jeg er 56% sikker på at jeg netop hørte hvad den ged tænkte".
Vi har nu en model der tildeler sandhedsværdier til de atomiske formler i udsagnet A. Den kan betegnes:

M semantic p - at den atomiske formel p er sand i modellen M, og
M nsem p - at den atomiske formel p ikke er sand i modellen M.

Hvis et udsagn A er komplekst, indeholder det flere atomiske formler (pned:1:ned, pned:2:ned, pned:3:ned, ... ,pned:n:ned). Med det i tankerne kan vi gå videre til at definere konnektiverne:

M semantic notpned:1:ned hvis, og kun hvis, M nsem pned:1:ned
M semantic pned:1:ned and pned:2:ned, hvis, og kun hvis, M semantic pned:1:ned og M semantic pned:2:ned
M semantic pned:1:ned or pned:2:ned, hvis, og kun hvis, M semantic pned:1:ned eller M semantic pned:2:ned
M semantic pned:1:ned rarr pned:2:ned, hvis, og kun hvis, M nsem pned:1:ned eller M semantic pned:2:ned
M semantic pned:1:ned harr pned:2:ned, hvis, og kun hvis, M semantic pned:1:ned netop når M semantic pned:2:ned

Herefter kan sandhedsværdierne i modellen M opstilles i sandhedstabeller, og vi har skabt en semantik - et betydningsfelt i modellen der indbefatter såvel atomiske udsagn som konnektiver. Vi er selvfølgelig interesseret i både tilfældet F(falsk) og S(sand) for begge de atomiske formler pned:1:ned og pned:2:ned, og vi er også interesseret i tilfældet hvor den ene atomiske formel er S samtidig med at den anden er F, og omvendt. Det giver i alt fire rækker i de tabeller hvori der indgår to atomiske formler:

Negation:

p1

¬p1

S
F

F
S

Konjunktion:

p1

p2

pned:1:ned and pned:2:ned

S
F
S
F

S
S
F
F

S
F
F
F

Disjunktion:

p1

p2

pned:1:ned or pned:2:ned

S
F
S
F

S
S
F
F

S
S
S
F

Implikation:

p1

p2

pned:1:ned rarr pned:2:ned

S
F
S
F

S
S
F
F

S
S
F
S

Biimplikation:

p1

p2

pned:1:ned harr pned:2ned:

S
F
S
F

S
S
F
F

S
F
F
S

Negationen er sand i det tilfælde hvor det negerede ikke er sandt - tænk på "ikke tilfældet".

Konjunktionen er kun sand i det tilfælde hvor begge konjunkter er sande.

Disjunktionen er inklusiv. Det vil sige at den kun er falsk i det tilfælde hvor begge disjunkter er falske. Det kan være lidt svært at overføre til vores naturlige sprog da "eller" tit betyder "enten eller". Feks. kan det være svært at acceptere at "vil du have to hundredekronerssedler eller én tohundredekronersseddel" kan medføre at du får 400 kroner - nok mest hvis det er dig der skal give dem væk. Ved "enten eller" kaldes disjunktionen for eksklusiv, og det giver anledning til en ny sandhedstabel for formlen: not(pned:1:ned harr pned:2:ned).

Den materielle implikation er kun falsk i det tilfælde hvor antecedenten, pned:1:ned, er sand, og konsekventen, pned:2:ned, er falsk. Det kan måske være lidt nemmere at overføre til vores naturlige sprog hvis vi vender en implikation om sætningsmæssigt. "Hvis jeg ikke spiser æbler, bliver jeg træt" bliver så til: "Jeg bliver træt hvis jeg ikke spiser æbler", og hele udsagnet er falsk kun i det tilfælde hvor jeg ikke bliver træt og ikke spiser æbler.
Den materielle implikation pned:1:ned rarr pned:2:ned  er logisk ækvilvalent med notpned:1:ned or pned:2:ned - det skrives som:
pned:1:ned rarr pned:2:ned equiv notpned:1:ned or pned:2:ned - tegnet ≡ betyder logisk ækvivalens eller at de to udsagn der indgår i ækvivalensen, har samme sandhedstabel. Hvis vi hurtigt tager et kik i tabellen for disjunktion, kan vi se at den kun er falsk i tilfældet hvor både p1 og p2 er falske. Hvis p1 er negeret, er disjunktionen kun falsk i det tilfælde hvor den negerede p1 er falsk, det vil sige i det tilfælde hvor den er sand, og p2 er falsk hvilket stemmer overens med den materielle implikation.

Biimplikationen er sand i tilfældet hvor pned:1:ned og pned:2:ned begge er sande, og i tilfældet hvor pned:1:ned og pned:2:ned begge er falske.

Implikationen pned:1:ned rarr pned:2:ned har en kontraposition notpned:2:ned rarr notpned:1:ned, de to implikationer har samme sandhedstabel og er derfor logisk ækvivalente. Begge eksempler på logisk ækvilvalens:

pned:1:ned rarr pned:2:ned equiv notpned:1:ned og pned:2:ned og pned:1:ned rarr pned:2:ned equiv notpned:2:ned rarr notpned:1:ned

er stillet op i de to følgende tabeller:

p1

p2

pned:1:ned rarr pned:2:ned

notpned:2:ned rarr notpned:1:ned

S
F
S
F

S
S
F
F

S
S
F
S

S
S
F
S


p1

p2

pned:1:ned rarr pned:2:ned

notpned:1:ned or pned:2:ned

S
F
S
F

S
S
F
F

S
S
F
S

S
S
F
S

Faktisk kan de fem konnektiver i udsagnslogik defineres ud fra en delmængde af de fem. Sådan en delmængden kaldes for en adækvæt mængde til de originale fem konnektiver så længde vi ud fra den kan konstruere alle fem sandhedstabeller. Et eksempel på en adækvæt mængde kan være mængden Æ = (¬ , →) hvor K er mægden af de fem konnektiver, og Æ ⊆ K. Med den nye mængde Æ kan de fem konnektiver skrives som:

- not(pned:1:ned rarr notpned:2:ned) equiv pned:1:ned and pned:2:ned
- notpned:1:ned rarr pned:2:ned equiv pned:1:ned or pned:2:ned
- notpned:2:ned rarr notpned:1:ned equiv pned:1:ned rarr pned:2:ned
- (notpned:1:ned rarr pned:2:ned) rarr not(pned:1:ned rarr notpned:2:ned) equiv pned:1:ned harr pned:2:ned

Biimplikationen skabt ud fra mængden Æ er noget af en snørklet omgang, derfor kommer den her i en sandhedstabel:

p1

p2

notpned:1:ned rarr pned:2:ned

not(pned:1:ned rarr notpned:2:ned)

(notpned:1:ned rarr pned:2:ned rarr) not(pned:1:ned rarr notpned:2:ned)

S
F
S
F

S
S
F
F

S
S
S
F

S
F
F
F

S
F
F
S

Den sidste kolonne er ækvivalent med sandhedstabellen for biimplikationen, og vi skriver altså (notpned:1:ned rarr pned:2:ned) rarr not(pned:1:ned rarr notpned:2:ned) equiv pned:1:ned harr pned:2:ned

Generelt gælder i logik at:
- Hvis et udsagn er sandt i alle tilfælde kalder vi det en tautologi, feks. pned:1:ned and pned:1:ned, og vi skriver
semantic pned:1:ned. Som det ses er en tautologi sand på tomme, eller uanset, præmisser.
- Hvis et udsagn er falsk i alle tilfælde, kalder vi det en kontradiktion, feks. pned:1:ned and notpned:1:ned.
- Hvis et udsagn er delvist falsk og delvist sandt, kalder vi det et kontingent udsag.

Generelt gælder der i udsagnslogik at en konklusion K følger af præmisserne:
Aned:1:ned, Aned:2:ned, Aned:3:ned, ... ,Aned:n:ned hvis, og kun hvis, udsagnet Aned:1:ned and Aned:2:ned and Aned:3:ned and ... and Aned:n:ned rarr K er en tautologi.
Det kan skrives som:

- Aned:1:ned, Aned:2:ned, Aned:3:ned, ... ,Aned:n:ned semantic K ⇔ Aned:1:ned and Aned:2:ned and Aned:3:ned and ... and Aned:n:ned rarr K

hvor vi, fordi vi undersøger generelle forhold ved udsagnslogik, benytter tegnet ⇔ om biimplikationen.

Med sandhedstabellerne på plads kan vi indføre et hvilket som helst udsagn, eller sammensætning af flere udsagn, og en konklusion i tabellerne og efterprøve om udsagnet stemmer overens med konklusionen.

Første eksempel:

Følgen: r, p rarr (r rarr q) semantic p rarr (q and r)
Da der gælder at at en konklusion, ifølge Defintion 1, må være sand i det tilfælde hvor alle præmisserne er sande, er vi egentligt bare interesseret i at finde det tilfælde hvor både præmisserne og konklusionen er sand samtidig. Derfor behøver vi ikke tænke på hvad der er konklusion, og hvad der er præmisser. Vi lister derfor hele følgen op og sætter den ind i en sandhedstabel:

p

q

r

p rarr (r rarr q)

p rarr (q and r)

S
F
S
S
F
S
F
F

S
S
F
S
F
F
S
F

S
S
S
F
S
F
F
F

S
S
F
S
S
S
S
S

S
S
F
F
S
F
S
S

Fremgangsmåde: De tre atomiske formler, p, q og r, skrives i starten af tabellen og tildeles alle mulige kombinationer af tilfældene falsk og sand. Antallet af rækker kan angives som 2op:n:op hvor n er antallet af atomiske formler. Når det er gjort, skal sanhedsværdien for de komplekse udsagn findes, det gøres ved at vi arbejder ud fra defintionerne i sandhedstabellerne for hvert konnektiv. Det kan måske være en fordel at lave to seperate sanhedstabeller for implikationen og konjunktionen i parantes:

p

q

r

r rarr q

q and r

S
F
S
S
F
S
F
F

S
S
F
S
F
F
S
F

S
S
S
F
S
F
F
F

S
S
F
S
F
S
S
S

S
S
F
F
F
F
F
F

I overensstemmelsem med definition 1 kan vi ikke have en gyldig følge hvori præmisserne alle er sande og konklusionen falsk. I den første tabel kan vi se at i de tilfælde hvor konklusionen er falsk, er der mindst en falsk præmis. Definition 1 er opfyldt.
Derudover er følgen i tabellen kontingent. Hvis tilfældet var at sidste kolonne kun indeholdte S, ville følgen være en tautologi, og omvendt, hvis den sidste kolonne kun indeholdte F, ville følgen være en kontradiktion.

En anden måde at bekræfte en følge på er at prøve at refutere eller falsificere den. Ifølge defintion 1 er en følge hvor præmisserne alle er sande, og hvor konklusionen samtidig er falsk, ikke gyldig. Vi antager altså at konklusionen er falsk, og at alle præmisserne er sande, det skrives som: r, p rarr (r rarr q) semantic not(p rarr (q and r)). Vi bruger samme tabel som før hvor vi inverterer kolonnen for konklusionen:

p

q

r

p rarr (r rarr q)

not(p rarr (q and r))

S
F
S
S
F
S
F
F

S
S
F
S
F
F
S
F

S
S
S
F
S
F
F
F

S
S
F
S
S
S
S
S

F
F
S
S
F
S
F
F

Hvis der er bare et tilfælde i tabellen hvor både præmisser og konklusion er sand, altså en række med S, så kan vi afkræfte hele følgen som ikke logisk - den er altså falsificeret. I tabellen er der i hvert tilfælde mindst én falsk, og vi kan dermed ikke falsificere følgen; den er stadig bekræftet.

Semantiske træer
En anden måde at undersøge semantisk følgerelation på er ved at lave træer. Ikke ved at dyrke dem, men ved at tegne forgreninger til hvert konnektiv og på den måde opløse de komplekse formler indtil de er atomiske. Hvert konnektiv har en forgrening svarende til sandhedstabellen for det givne konnektiv. Eksempelvis ser forgreningen for konjunktion sådan her ud:

pned:1:ned and pned:2:ned
|
pned:1:ned
pned:2:ned

Forgreningen skal forstås på den måde at konjunktionen er sand hvis både pned:1:ned og pned:2:ned er sand.

Ved en disjunktoin ser forgreningen sådan her ud:

pned:1:ned or pned:2:ned
/ \
pned:1:ned pned:2:ned

og forgreningen skal forstås på den måde at disjunktionen er sand hvis bare en af de atomiske formler er sande. Det giver to muligheder for at opnå sandhed, hvor der under en konjunktion kun er en.

Negation ser således ud:

notnotpned:1:ned
|
pned:1:ned

Da en negation jo kan foregå på enten en atomisk formel eller på et konnektiv, indeholder hvert af de fire øvrige konnektiver to mulige forgreningsscenarier. Vi tager dem fra en ende af:

Konjunktion:

pned:1:ned and pned:2:ned
|
pned:1:ned
pned:2:ned

og

not(pned:1:ned and pned:2:ned)
/ \
notpned:1:ned notpned:2:ned

Disjunktion:

pned:1:ned or pned:2:ned
/ \
pned:1:ned pned:2:ned

og

not(pned:1:ned or pned:2:ned)
|
notpned:1:ned
notpned:2:ned

Implikation:

pned:1:ned rarr pned:2:ned
/ \
notpned:1:ned pned:2:ned

og

not(pned:1:ned rarr pned:2:ned)
|
pned:1:ned
notpned:2:ned

Biimplikation:

pned:1:ned harr pned:2:ned
/ \
pned:1:ned
pned:2:ned
notpned:1:ned
notpned:2:ned

og

not(pned:1:ned harr pned:2:ned)
/ \
notpned:1:ned
pned:2:ned
pned:1:ned
notpned:2:ned

Når forgreningerne er tengnet, er det let at se at de forhold der er imellem de forskellige konnektiver. Forgreningerne udgør egentligt bare formen for en disjunktion og en for en konjunktion, altså er en af de to konnektiver plus en negation en ædakvæt mængde af alle fem konnektiver.

Med forgreningnerne på plads kan vi dekomponere følgen fra før:

r, p rarr (r rarr q) semantic p rarr (q and r).

r
|
r rarr (r rarr q)
|
p rarr (q and r)
/ \
¬p q ∧ r
/ \ |
¬r r → q q
| / \ r
r ¬r q / \
x | | ¬r r → q
r r x / \
x OK ¬r q
x |
r
OK

Fremgangsmåden er at vi starter med at skrive de to præmisser og konklusionen øverst. Konklusionen er en impliktion der derfor deles op i to: ¬p og konjunktionen q ∧ r. På hver af de to grene tilføjer vi så den næste formel fra over konklusionen r → (r → q) - den deles igen i to i overensstemmelse med træet for implikation. På alle grene efter de to første formler er tilføjet og skilt ad, skal der tilføjes den tredje formel r. Den yderste gren indeholder allerede et negeret r, derfor skriver vi et x under r da en gren lukkes hvis både en atomisk formel og dens negation er i grenen. På grenen overfor er implikationen r → q. Den deles i to og bliver til ¬r på den ene side og q på den anden. Under ¬r tilføjes den sidste formel, r, og grenen lukkes da der i den både er en formel og dens negation. Formlen r tilføjes under q overfor, da der ikke er både en atomisk formel og dens negation, er denne gren åben, og vi skriver OK nedenunder. Det samme er gjort under de tre næste atomiske formler.
Fremgangsmåden er altså at nedbryde de komplekse formler til atomiske og derefter tjekke om der er åbne grene. Hvis der er bare én åben gren, kan hele følgen bekræftes. Da vi, en efter en, har tilføjet hver af præmisserne til grenene, svarer én åben gren til et tilfælde hvor alle præmisserne og konklusionen er sand samtidig.
Ligesom med sandhedstabellerne gælder også for forgreningsskemaer at:
- Hvis alle grene er åbne, er følgen en tautologi
- Hvis alle grenene er lukkede, er følgen en kontradiktion
- Hvis nogle grene er lukkede og nogle åbne, er følgen kontingent.

Ligesom med tabllerne kan vi også med træerne prøve at falsifisere en følge for at se om den er logisk gyldig. Til det formål er først en følge: s rarr (q and notr), not(p harr s), q and notr, r or p semantic notp
Første skridt er som før at negere konklusionen, derefter opstiller vi præmisser og konklusion som i træet ovenfor:

s rarr (q and not r)
|
not(p harr s)
|
q and notr
|
r or p
|
notnotp
/ \
r p
| |
q q
¬r ¬r
x / \
  p ¬p
  ¬s s
  / \ x
  ¬s q  
  OK ¬r  
    OK  

Fremgangsmåden er ligesom før. For hver gren indsættes en formel, og hvis den er kompleks, anvendes en passende forgreningsregel. Når alle formlerne er atomiske, tjekker vi om der er grene der ikke lukker, i dette tilfælde er der to. Men da vi som udgangspunkt havde gjort konklusionen falsk, og da der ifølge definition 1 ikke kan være en gyldig logisk følge hvor præmisserne er sande og konklusionen falsk, må vi forkaste følgen som ugyldig. Den er altså falsifiseret.

Og sådan konkluderes min gennemgang af udsagnslogik.