pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Lineære

12-10-2015|Elementære funktioner

Polynomier er grafer for funktioner, og her vil jeg starte med at introducere polynomier af første grad. Udover at forklare hvordan funktionerne fungerer, vil jeg også komme ind på hvordan de tegnes i Maple.
Generelt er førstegradpolynomier givet som en såkaldt lineær funktion af typen y = ax + b eller f(x) = ax + b. Den første model er nemmest at relatere til et koordinatsystem da der i den eksplicit indgår y som en variabel, og y er jo andenaksen i et koordinatsystem. Den anden model er meget normal i gymnasiet. Den minder ret meget om hvordan en funktion er defineret i programmering, nemlig med et navn og et argument i parentes. Det er ikke så vigtigt hvilken model vi bruger, det er bare en meget god idé at kunne forholde sig til begge, og så er det vigtigt at huske at f(x) er en variabel model nummer to.
Udover y, eller f(x), er x også en variabel, x er absolut, y er relativ da y afhænger af x. De to andre bogstaver, a og b, kaldes en hældningskoefficient hhv. skæringspunkt – begge er koefficenter. Skærringspunktet angiver det punkt der ligger på y-aksen hvori grafen for f(x) går igennem. Hvis b = 0, går grafen gennem punktet (0,0). Hvis a = 0, er funktionen konstant, hvis både a = 0 og b = 0, ligger grafen oven i x-aksen. Koefficienten er hvor meget grafen stiger eller falder når vi går et skridt hen ad x-aksen. Hvis a er negativ, falder grafen for hvert skridt, hvis b er negativ, skærer grafen y-aksen under x-aksen.

Det vigigste ved simple polynomier som et førstegradspolynomie er at blive god til at visualisere dem. Det er ikke så svært med et førstegradspolynomie, men det er meget brugbart. I folkeskolen kan jeg huske at vi lavede fiskeben, altså sådan nogle her:

Det var usigeligt kedeligt og virkede unægtelig som unødigt arbejde for at tegne en streg. Istedet for at tegne og dekorere sildeben kan vi forholde os til de to komponenter en lineær funktion består af. For at være lidt konkret kan vi undersøge grafen for y = 2x – 1.
Først og fremmest siger b hvor grafen skærer y-aksen, så lad os sætte en prik i b-værdien på y-aksen, altså i -1. Herefter er der hældningskoefficienten a, den siger hvor meget grafen stiger eller falder for hvert skridt x. Den er lig med 2, så vi går et skridt hen ad x-aksen og 2 op ad y-aksen og sætter endnu en bolle. Det kan vi gøre endnu en gang med udgangspunkt i det nye punkt, og vi har tre punkter, igennem dem kan vi slå en streg, og sådan har vi en graf for funktionen y = 2x - 1:

I Maple tegnes funktioner ved at bruge kommandoen plot(). Det er tit en god idé at definere funktionerne først, det gør det hele lidt lettere at holde styr på. Som eksempler kan vi tegne graferne for:

f_{1}(x) = 2x - 1 f_{2}(x) = -x + 10 f_{3}(x) = -2x + 1.5 f_{4}(x) = 2

Først ved at definere dem med følgende kommandoer:

f1:=x->2*x-1; f2:=x->-x+10; f3:=x->-2x+1.5; f4:=x->2;

Nu kan vi plotte funktionerne en ad gangen ved at skrive plot(f1(x)); plot(f2(x)); osv. Husk at slutte en kommando af med semikolon i Maple. Men mere interessant er det måske nok at plotte dem alle på en gang i samme koordinatsystem, så kan vi se hvordan de er i forhold til hinanden. Et fællesplot med forskellige farver og med beskrivelse opnås med følgende kommando - legend er den beskrivelse af graferne nede i kassen:

plot([f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)],x=-20..20,y=-20..20,legend=[2*x-1,-x+10,-2*x+1.5,2],color=[red,green,blue,purple],labels=[x,y]);

Og vi får:

Læg mærke til at visningen er begrænset til at gå fra -20 til 20 på begge akser. Læg også mærke til grafen for den konstante lillae funktion f(x) = 2.

Den anden vej rundt kan det tit være nødvendigt at regne sig frem til en funktoinsforskrift fra to punkter. Egentligt kræver det at vi ved at de to punkter kan beskrives med en lineær funktion, det kan to punkter altid, men der kan jo forekomme tilfælde hvor der er mange punkter. Lad os glemme dem for et øjeblik og fokusere på det tilfælde hvor vi vil lave en lineær funktion ud fra to kendte punkter. Det kaldes faktisk for en vektor, men dem vil vi først se på senere. Istedet er der en formel for at finde værdien a, og den er:

Sætning 1
Hvis A(x_{1},y_{1}) og B(x_{2},y_{2}) er to punkter på en ret linje der ikke er lodret (dvs. x_{1} ne x_{2}), er hældningen a givet ved formlen
a = {y_2 - y_1}over{x_2 - x_1}

Bevis
Funktionen er givet ved y = ax + b. Ud fra den kan vi finde y_{1} = ax_{1} + b og y_{2} = ax_{2} + b. De to ligninger kan trækkes fra hinanden, dette er et trick der tit benyttes til at løse ligninger, og vi får:

y_{1} - y_{2} = ax_{1} + b - (ax_{2} + b) .dlrarrow y_{1} - y_{2} = ax_{1} - ax_{2} .dlrarrow y_{1} - y_{2} = a(x_{1} - x_{2}) .dlrarrow {y_2 - y_1}over{x_2 - x_1} = a

Bemærk at vi kan sætte a uden for en parentes når a bliver ganget med alle de led der skal indgå i parentesen. Dette kan gøres med alle tal og bogstaver så længe de skal ganges med alle led.
Når vi har en formel for a, kan vi lave en lineær funktionsforskrift. Måske kan vi lege at vi får 100 kroner om måneden fra farmor. Dem syer vi ind i madressen, derfor er der ingen renter at hente. Vi glemmer så en dag hvor meget det egentligt er vi får om måneden, men vi talte pengene 13 måneder efter første gange vi fik fra farmor, der var der 1500 kroner i madressen, og 16 måneder efter første gang, og der var der 1800 kroner i madressen. Vi kan nu finde a ved at indsætte og regne:

a = {y_2 - y_1}over{x_2 - x_1} = {1800 - 1500}over{16 - 13} = {300}over{3}

Problemet er så bare at formlen ikke passer helt, for 1800/16 er ikke lig med 100 kroner - altså går grafen ikke gennem (0,0). Dette kan dog hurtigt fikses, vi opskriver formlen for selve funktionen: y = ax + b, vi har fundet a, så den værdi indsætter vi: y = 100x + b. Nu kan vi udtage en af de to punkter, vi vælger f(13) = 1500, disse to værdier indsætter vi, husk at y = f(x): 1500 = 100 ⋅ 13 + b, og vi kan løse ligningen med hensyn til b:

1500 = 100 .sdot 13 + b .dlrarrow 1500 - 1300 = b .dlrarrow 200 = b

Og vi har så følgende forskrift for hvor mange penge der er i vores madres som funktion af tid: y = 100x + 200.

Her til sidst skal vi lige nå at se på ligefrem proportionalitet.

Definition
To størrelser kaldes ligefrom proportionale hvis der findes et tal k, så
y = kx .dlrarrow {y}over{x} = k

Tallet k kaldes proportionalfaktoren. Proportionalfaktoren er hældningen, og en ligefrem proportional funktion skærer altid punktet (0,0), der er altså ingen b-værdi på spil.

Det er vigtigt at forstå at en ligefrem proportional funktion kan vokse eller aftage, en aftagende proportional funktion er altså ikke omvendt proportional – dette er noget helt andet.

Eksempel:
Hvis min bror får 200 kroner hver måned, og jeg kun får 100, får min bror dobbelt så mange penge om måneden. De to udbetalte beløb er proportionale i forholdet til hinanden, jeg får ½ gange af det beløb min bror får, og han får 2 gange af det beløb jeg får. Hvis det skal være lidt kompliceret kan vi lave en ny fuktion for det beløb han får, nemlig: z = 2y hvor y er hvor mange penge der er i min madras den givne månen. Det kræver selvfølgelig at han også havde 200kroner i sin madras til at starte med.