pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Matematiske standardsymboler

06-06-2015|Generelt

Talmængder:
ℕ, de naturlige tal 1, 2, 3, ...,
ℤ, de hele tal, både negative og positive, 0, 1, 2, 3, ...,
ℚ, de rationale tal, altså alle hele brøker a/b hvor a, b ∈ ℤ og b ≠ 0
ℝ, de reelle tal, altså alle uendelige decimalbrøker
ℂ, de komplekse tal, skrevet som vektor: z = x + iy hvor x, y ∈ ℝ, og i er imaginæraksen

Mængdeoperationer og relationer:

TegnBetydningEksempler
{x ∈ E | p(x)}x er de elementer i mængden E for hvilke der gælder at p er sand{x ∈ E | x ≤ 0}
∈, ∋Er element i hhv. indeholder som element.a ∈ M
a ∋ M
a, b ∈ M betyder at
a ∈ M og b ∈ M
∉, ∌Er ikke element i hhv. indeholder ikke som elementb ∉
M ∌ b
⊆, ⊇Er delmængde af hhv. indeholder som delmængdeQ ⊆ M
M ⊇ Q
⊈, ⊉Er ikke delmængde af hhv. indeholder ikke som delmængde{x ∈ E | x > 0} ⊈ {y ∈ E | y < 0}
⊂, ⊃Er en ægte delmængde af hhv. indeholder som ægte delmængdeR ⊂ M
FællesmængdeA ∩ B ∩ C
ForeningsmængdeA ∪ B ∪ C
Komplementærmængde∁A,
∁(A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B,
∁(A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B
\MængdedifferensA \ B = A ∩ ∁B
ØDen tomme mængde{t ∈ R | sin t > 1} = Ø
(a, b)Ordnet elementpar(a, b) = (b, a) når og kun når a = b
(a1, a1,...,an)Ordnet elementsætFra i = 1 til i = n
xMængdeproduktA x B = {(a, b) | a ∈ A og b ∈ B}
A1 x A2 x ... x An
= {(a1, a2,...,an) | a1 ∈ A1 og a2 ∈ A1og ... og an ∈ An}
A x A = Ax2 eller A3

Konjunktion "og"
Disjunktion "eller"
p ∧ q
p ∨ q
¬Negation "ikke"¬ p
Implikation "hvis ..., så", "medfører"p ⇒ q
Biimplikation "hvis, og kun hvis", "er ensbetydende med"p ⇔ q
Alkvantor "for alle"∀ x ∈ ℝ : x2 ≥ 0 "For alle x som element i ℝ, gælder at x i anden er større end eller lig med 0"
Eksistenskvantor "der eksisterer"∃ x ∈ R : x2 = 2
¬∃ x ∈ R : x2 = -1
⇔ ∀ x ∈ R : ¬(x2 = -1)
≡ (mod n)Kongruens modulo n5 ≡ 7 (mod 2)
( )nRestklasse modulo n(7)5 = {x | x ≡ 7 (mod 5)}
|Går op i (er divisor i)5 | 20
Går ikke op i (er ikke divisor i)3 ∤ 20
[ ; ]Lukket interval[1;10] = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 10}
[ ; [Halvåbent interval[1;10[ = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 10}
] ; ]Lukket interval]1;10] = {x ∈ ℝ | 1 < x ≤ 10}
] ; [Åbent interval]1;10[ = {x ∈ ℝ | 1 < x < 10}

Funktionsbetegnelser:

TegnBetydningEksempler
f : A ↷ BAfbildning f af mængden A ind i mængden Bf : A ↷ B
DfDefintionsmængde "mængden for hvilken f(x) er defineret"f : A ↷ B, hvor {x ∈ A | f(x) ∈ B} hvor Df er mængden af elementerne x
VfVærdimængde eller billedmængde "mængden af alle funktionsværdier f(x)"f : A ↷ B, hvor {f(x) ∈ B | x ∈ A} hvor Vf er mængden af elementerne f(x)
f(K)Billedmængden af en delmængde K af definitionsmængden ved afbildning ff : A ↷ B, hvor {f(x) ∈ B | x ∈ K} hvor K ⊆ A
f + g
f - g
fg
fn
f/g
|f|
Regning med funktioner når begge funktioner er afbildninger af den samme mængde E ind i en mængde der opfylder de passende regneoperationer∀x ∈ E : (f + g)(x) = f(x) + g(x)
∀x ∈ E : (f - g) = f(x) - g(x)
∀x ∈ E : (fg)(x) = f(x)g(x)
∀x ∈ E : fn(x) = (f(x))n
∀x ∈ E : f/g(x) = f(x)/g(x)
∀x ∈ E : |f|(x) = |f(x)|
f ∘ gSammensat funktion (afbildning)når f : A ↷ B og g : B ↷ C er
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) for alle x ∈ A
f∘nDen n gange itererede afbildning af en mængde ind i sig selvf∘n = f ∘ f ∘ f ∘ ... ∘ f (n gange)
f-1(U)Urbillede eller originalmængde - U er en delmængde af Vff : A ↷ B, hvor {x ∈ A | f(x) ∈ U} hvor U ⊆ B
| |

Re
Im
[ ] eller ent
Den absolutte eller numeriske værdi
Den reelle komponent af
Den imaginære komponent af
Den hele del af
|-5| = 5

Re(2 - i) = 2, Re(i) = 0
Im(2 - i) = -1, Im(i) = 1
[π] = 3, ent(-3/4) = -1
ln
log
loga
exp
expa
Naturlig logaritme
Titalslogaritme
Logaritme med grundtallet a
Exponentialfunktion
Exponentioalfunktion med grundtallet a > 0
ln(e) = 1, ln(1) = 0
log(1000) = 3, log(1) = 0
log2(64) = 6, log2(1) = 0
exp x = ex
expax = ax
sin
cos
tan
cot
De trigonometiske funktionersin(3/2 π) = -1
{f(x) ∈ ℝ | 0 ≤ cos(f(x)) ≤ 0,5} hvor f(x) = (πx)/3 og Df ⊆ ℕ

Grænsebetegnelser

TegnBetydningEksempler
limGrænseværdilimx → ∞ 1/x = 0

Konvergerer mod1/x → 0 for x → ∞
max EDet største element i talmængden Emax{-2,0,2,4,8} = 8
max{a, b} = 1/2(a + b) + 1/2|a - b|
min EDet mindste element i talmængden Emin{-2,0,2,4,8} = -2
max{a, b} = 1/2(a + b) - 1/2|a - b|
max f(x)Maximum af f på mængden Mmax f(x) = max f(M) hvor x ∈ M
min f(x)Minimum af f på mængden Mmin f(x) = min f(M) hvor x ∈ M
sup MSupremum (øvre grænse, mindste majorant) for mængden Msup{x ∈ ℝ | 0 < x ≤ 1}
= sup{x ∈ ℝ | 0 < x < 1} = 1
inf Minfimum (nedre grænse, største minorant) for mængden Minf{x ∈ ℝ | 1/x < 1} = 1
sup f(x)
hvor x ∈ M
Supremum af f på mængden Msup f(x) = sup f(M) hvor x ∈ M
inf f(x)
hvor x ∈ M
Infimum af f på mængden Minf f(x) = inf f(M) hvor x ∈ M

Geometriske betegnelser:

TegnBetydningEksempler
ABLinjestykket AB (punktmængde)
|AB|Længden af linjestykket AB
a
⃗a
⃗AB
Vektorbetegnelser
|a|Vektorlængde
âTværvektor
a circ bSkalarprodukt
a x bVektorprodukt
0Nulvektor
||Er parallel med
Er ortogonal med
Er geometrisk kongruent med

Den klassiske måde at skrive de to logiske konnektiver implikation og biimplikation på (→ hhv. ↔) har jeg undladt i tabellen. Mest fordi de nok skaber noget forvirring. Jeg bruger dem dog under logik.
Denne liste vil løbende blive udvidet og evt. rettet til.