pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Grupper #arbejdseksempler

01-04-2016|Gruppeteori

1. Dihedralgruppen

Det første arbejdseksempel på en gruppe er Dihedralgruppen. Den består af først og fremmest alle rotationer af en n-kant hvor hver rotation fikserer alle hjørner på en måde så selve figuren ikke ændrer udseende. Derudover består gruppen af en spejling af n-kanten i hvert hjørne.
Formelt: for hvert n .isin setZ^{+}, n .ge 3, lad D_2n betegne alle spejlinger og rotationer af en n-kant. Denne gruppe har en kardinalitet på 2n, da der for hver rotation er en spejling. Den kan for n = 8 tegnes således:

Hvor hvert tal flyttes en plads mod venstre ved hver rotation, og hvor en spejling i feks. 2 får 8 og 4, 3 og 1 og 5 og 7 til at bytte plads. Ved 8 rotationer er alle tal der hvor de startede, så 8 rotationer er det samme som 0. Ligeså med 2 gange spejlinger. En sådan omordning af elementer kaldes en permutation. Før D8 er en gruppe, skal den opfylde de 3 aksiomer under def. af en gruppe. Og det gør den. Lad nemlig s og t være to permutationer af n-kanten. s og t er da funktioner, og vi kan tilføje funktionssammensætning som komposition, altså er s ∘ t sammensætningen af to permutationer. Da funktionssammensætning er associativ i det hele taget, er s og r associative. Identitetspermutationen er den der lader n-kanten se ud som udgangspunktet. Og den inverse permutation er den der sender en permutation tilbage til udgangspunktet, og vi har gruppen:

(D_{2n}, .circ), |D_{2n}| = 2n

Lad nu s betegne en spejling og r en rotation (med uret i modsætning til tegningerne). Da gælder følgende for en generel dihedralgruppe:

  1. 1, r, r^2, r^3, ..., r^{n - 1} er alle forskellige og r^n = 1, |r| = n
  2. s^2 = 1, |s| = 2
  3. .forall i : s .ne r^i
  4. .forall 0 .le i, j .le n - 1, j .ne i : sr^i .ne sr^j. Alle elementer i gruppen er forskellige.
  5. rs = sr^{-1}
  6. r^{i}s = sr^{-i}, .forall 0 .le i .le n

Bevis:
(1) : Lad r^i = r^j, 0 .le i .lt j .lt n, hvor n er det mindste tal så r^n = 1. Da får vi:
r^i = r^j .drarrow r^{j}r^{-i} = 1 .drarrow r^{j - i} = 1 hvor n > j - i > 0 i modstrid med at n er det mindste tal i hvilken potens r er 1. Beviset forløber på samme måde for i > j.
(2) : -
(3) : -
(4) : Følger af (1).

Dihedralgruppen af orden n består altså af elementerne:

D_2n = {1, r, r^2, ... , r^{n - 1}, s, sr, sr^2, ... , sr^{n - 1}}

Nu kan vi etablere kompositionstavlen for dihedralgruppen af en given orden. Den består af de to elementer r, i en eller anden potens, og s, hvor r kan reduceres til en positiv potens mindre end n. Feks. kan vi regne følgende for n = 14:

(sr^12)(sr^4) = s(r^{12}s)r^4 = s(sr^{-12})r^4 = (ss)(r^{-12}r^4) = r^{-12 + 4} = r^{-8} = r^6

2. Symmetriske grupper

Lad Ω være en ikke tom mængde, og lad SΩ være mængden af alle bijektioner fra Ω til sig selv (alle permutationer fra Ω til sig selv). Da har vi gruppen (S_{%Omega}, .circ) hvor der igen gælder at funktionssammensætning er associativ. Identiteten er den permutation der ikke gør noget ved et eneste element i Ω, og for hver permutation er der en tosidet ivers, da permutationen er bijektiv. Det er vigtigt at skelne indholdet i SΩ fra det i Ω - førstnævnte er alle permutationer givet som funktioner på sidstnævnte.

I det specielle tilfælde hvor %Omega = {1, 2, 3, 4, 5, ... ,n}, kalder vi den symmetriske gruppe på Ω for den symmetriske gruppe af orden n. For denne gælder at |S_{%Omega}| = n!.

Hvis n = 9, kan en permutation se sådan her ud:

%sigma = binom{1 2 3 4 5 6 7 8 9,2 3 4 1 5 6 9 8 7}

hvorfra vi kan aflæse feks: %sigma(2) = 3, %sigma(5) = 5, %sigma(7) = 9. Specielt kaldes σ(5) = 5 og σ(6) = 6 for fikspunkter da permutationen ikke ændrer på disse. Derudover kan vi dekomponere permutationen i disjunkte cykler hvilket giver følgende: (1 2 3 4)(5)(6)(7 9)(8). Det der ser sket, er at vi starter med 1 som vi følger til 2 som vi følger til 3 som vi følger til 4 og så tilbage til 1. Vi kan frasortere et-cyklerne (fikspunkterne) og ender så med (1 2 3 4)(7 9).

For disjunkte cykler der har flere elementer end 2, betyder hvilket tal der står først, ikke noget. Feks. er (1 2 4) = (2 4 1) = (4 1 2), så længe der ikke byttes om på den relative rækkefølge. (1 2 4) ≠ (1 4 2). For cykler med 2 elementer er rækkefølgen helt ligegyldig hvilket hurtigt kan indses ved at prøve.

For n = 9, er der 9! permutationer hvilket er flere end jeg lige orker at liste op. Tilgengæld er 3! = 6, så for n = 3 er der følgende permutationer:

Værdier af σiCykeldekomposition af σi
%sigma_1(1) = 1, %sigma_1(2) = 2, %sigma_1(3) = 3 %sigma_2(1) = 1, %sigma_2(2) = 3, %sigma_2(3) = 2 %sigma_3(1) = 3, %sigma_3(2) = 2, %sigma_3(3) = 1 %sigma_4(1) = 2, %sigma_4(2) = 1, %sigma_4(3) = 3 %sigma_5(1) = 2, %sigma_5(2) = 3, %sigma_5(3) = 1 %sigma_6(1) = 3, %sigma_6(2) = 1, %sigma_6(3) = 2 1 (2 3) (1 3) (1 2) (1 2 3) (1 3 2)

Multiplikation i en symmetrisk gruppe foregår på følgende måde for følgende eksempel:

(1 2 5)(4 3) .circ (1 2 4) = (1 5)(2 3 4)

Der sker det at vi fra højre side af ∘ følger først 1 → 2 og så videre på venstre side 2 → 5. På venstre side er 5 fikseret hvilket giver 5 → 5 og videre på venstre side 5 → 1. Vi får på den måde 2-cyklen (1 5). Herefter fra højre side 2 → 4, venstre side 4 → 3, og vi skriver (2 3), og videre 3 → 3 og venstre side 3 → 4, og vi får tilsammen (2 3 4). Måske ses det lettere ved at bruge notationen længere oppe:

binom{1 2 3 4 5,2 5 4 3 1} .circ binom{1 2 3 4 5,2 4 3 1 5} = binom{1 2 3 4 5,5 3 4 2 1}

Hvoraf vi så kan dekomponere resultatet i disjunkte cykler.

Den inverse permutation fås ved at vende rækkefølgen om på tallene i de disjunkte cykler, feks:

%sigma = (1 2 5)(4 3), %sigma^{-1} = (5 2 1)(4 3)

Læg her mærke til at den inverse permutation ikke gør noget ved 2-cykler.

For den symmetriske gruppe af orden n gælder følgende:
- For n ≥ 3 er den sysmmetriske gruppe af orden n ikke-abelsk.
- Disjunkte cykler kommuterer.

3. Kvarterniongruppen

Kvarterniongruppen er defineret som følger:

Q_8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}

med produktet ⋅ givet som følgende:

1 .sdot a = a .sdot 1 = a, .forall a .isin Q_8 (-1)(-1) = 1, (-1)a = a(-1) = -1, .forall a .isin Q_8 i .sdot i = j .sdot j = k .sdot k = -11 i .sdot j = k, j .sdot i = -k j .sdot k = i, k .sdot j = -i k .sdot i = j, i .sdot k = -j

hvilket giver kompositionstavlen:

1-1i-ij-jk-k
11-1i-ij-jk-k
-1-11-ii-jj-kk
ii-i-11-kkj-j
-i-ii1-1k-k-jj
jj-jk-k-11-ii
-j-jj-kk1-1i-i
kk-k-jji-i-11
-k-kkj-j-ii1-1

Med forbehold for fejl!

Kvarterniongruppen af orden 8 er ikke-abelsk.