pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Undergrupper

31-03-2016|Gruppeteori

Definition : Lad G være en gruppe. Delmængden H af G er en undergruppe af G hvis H ≠ Ø, og hvis H er aflsuttet overfor multiplikation og inversdannelse. Vi skriver i så fald H ≤ G. Formelt:

  1. H .ne .empty
  2. .forall a, b .isin H : ab .isin H
  3. .forall a .isin H : a^{-1} .isin H

Undergrupper af G er delmængder af G der selv er grupper med hensyn til den komposition der er givet i G. Dvs. at hvis H ≤ G, er neutralelement i H det samme som det i G, og en invers til et element i H er den samme som inversen til samme element i G.

Eksempler

  1. setZ .le setQ og setQ .le setR med addition som komp.
  2. Envher gruppe G har altid de to undergrupper H = G og H = {1}, den sidste kaldt den trivielle undergruppe.
  3. Lad G = D_2n være dihedralgruppen af orden 2n, og lad H = {1, r, r^2, ... ,r^n} være mængden af alle rotationer i G. Siden både produktet af to rotationer er en rotation, og siden den inverse til en rotation igen er en rotation, er H både aflsuttet overfor multiplikation og inversdannelse. Da H tydeligvis ikke er tom, er H ≤ G
  4. ≤ er transitiv, altså H .le G .and G .le K .drarrow H .le K

Prop. 1 En delmængde H af en gruppe G er en undergruppe hvis og kun hvis:

  1. H .ne .empty
  2. .forall x, y .isin H : xy^{-1} .isin H

Bevis : Antag at H ≤ G. Da er H ≠ Ø, og hvis x, y ∈ H gælder der at den inverse til y er i H (3) samt at produktet af x med den inverse til y er i H (2).
Antag nu den anden vej at prop. 1 gælder for H. Da H ≠ Ø (1), findes et x i H. Lad x = y, og af (2) får vi 1 ∈ H. Da x og 1 er i H, er produktet af den inverse til x og 1 i H, og H er aflsuttet overfor inversdannelse. Til sidst, hvis x og y er to elementer i H, er y^{-1} .isin H .drarrow x(y^{-1})^{-1} .isin H, og H er aflsuttet overfor multiplikation.

Centralisator, Normalisator

Defintion : Centalisatoren af A i G er givet ved C_G(A) = {g .isin G | gag^{-1} = a, .forall a .isin A}. Da gag^{-1} = a .dlrarrow ga = ag, er centralisatoren de elementer i G der kommuterer med alle elementer i A.

Vi vil her vise at C_G(A) .le G. Først og fremmest gælder C_G(A) .ne .empty da 1 .isin C_G(A): Husk at 1 kommuterer for alle a i G. Antag nu at x, y .isin C_G(A), og vi får:

yay^{-1} = a .drarrow y^{-1}yay^{-1}y = y^{-1}ay .drarrow a = y^{-1}ay

Hvilket betyder at C_G(A) er aflsuttet overfor inversdannelse. Derudover får vi:

(xy)a(xy)^{-1} = (xy)a(y^{-1}x^{-1}) CN_(prop.1.4 for grupper) = x(yay^{-1})x^{-1} CN_(def. for grupper) = xax^{-1} CN_(da y er i cent.) = a CN_(da x er i cent.)

og C_G(A) er aflsuttet overfor multiplikation og er dermed en undergruppe af G.

Definition : Centeret af G er de elementer i G der kommuterer med hele G, altså Z(G) = {g .isin G | gx = xg, .forall x .isin G}

Bemærk at Z(G) = C_G(G), så Z(G) .le G, bevis:

Først og fremmest er 1 i centeret, så C(G) ≠ Ø. Lad nu x, y .isin Z(G), og vi får:

gx = xg .drarrow x^{-1}gxx^{-1} = x^{-1}xgx^{-1} .drarrow x^{-1}g = gx^{-1}

Centeret er aflsuttet overfor inversdannelse. Derudover:

g(xy) = (gx)y = x(gy) = (xy)g

og centeret er aflsuttet overfor multiplikation.

Definition : Definer gAg^{-1} = {gag^{-1} | a .isin A}. Man kan sige at a gennemløber A. Normalisatoren af A i G er: N_G(A) = {g .isin G | gAg^{-1} = A}

Bemærk at g .isin C_G(A) .drarrow gag^{-1} = a .isin A, .forall a .isin A, så C_G(A) .le N_G(A) hvilket medfører at N_G(A) .le G hvilket også kan bevises på baggrund af def. for normalisatoren:
Lad x, y .isin N_G(A), og vi får:

(xy^{-1})A(xy^{-1})^{-1} = (xy^{-1})A(yx^{-1}) CN_(prop.1.4 for grupper) = (xy^{-1})yAy^{-1}(yx^{-1}) CN_(da y er i norm.) = (x(y^{-1}y)A(y^{-1}y)x^{-1}) CN_(def. for grupper) = xAx^{-1} = A CN_(da x er i norm.)

og ifølge prop. 1 gælder at N_G(A) .le G

Eksempler

  1. For en abelsk gruppe kommuterer alle elementer, så Z(G) = G. Derudover er C_G(A) = N_G(A) = G, .forall A .subset G
  2. Lad G = D_8, og lad A = {1, r, r^2, r^3}. Da er C_G(A) = A. Bevis:
    - Potenser af r kommuterer. Så A .le C_G(A)
    - Da rs = sr^{-1} .ne sr, er s .notin C_G(A)
    - Da C_G(A) .le G, gælder der at sr^{i} .isin C_G(A) .drarrow sr^{i}(r^{-i}) = s .isin C_G(A), for et
    i ∈ {1,2,3,4}, ifølge prop.1.2 for u.grupper. Men det fører til en modstrid med ovenstående.
  3. Lad os fortsætte med ovenstående og vise at N_G(A) = D_8. Da centralisatoren er en undergruppe af normalisatoren, gælder A .le N_A(G). Herfra kan vi regne os frem til:
    sAs^{-1} = {s1s^{-1}, srs^{-1}, sr^{2}s^{-1}, sr^{3}s^{-1}} = {1, r^3, r^2, r^1} = A
    nu er altså r^i, s .isin N_G(A), i .isin {1,2,3,4}, og da normalisatoren er en undergruppe, gælder at s^{j}r^i .isin N_G(A), i, j .isin setZ hvilket tilsammen med A og s er hele G.