pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Grupper

30-03-2016|Gruppeteori

Vi skal her introducere gruppeteori.

Definition:

  1. En kompositionsregel ⭑ på en mængde G er en funktion givet ved .comp : G .setproduct G .functo G. For ethvert a, b ∈ G skriver vi a ⭑ b istedet for ⭑(a,b)
  2. En kompositionsregel på G er associativ hvis der for alle a, b, c .isin G gælder: a .comp (b .comp c) = (a .comp b) .comp c
  3. En kompositionsregel på G er kommutativ hvis der for alle a, b .isin G gælder: a .comp b = b .comp a. Hvis ligheden kun gælder for nogle elementer i G, siger vi at disse kommuterer.

Definition: En gruppe er et ordnet par (G, ⭑) hvor G er en mængde, og ⭑ er en kompositionsregel på G der opfylder følgende:

  1. .forall a, b, c .isin G : a .comp (b .comp c) = (a .comp b) .comp c. Vi kræver at kompositionsreglen er associativ på G.
  2. .exist e .isin G : e .comp a = a .comp e = a, .forall a .isin G. Vi kræver at der eksisterer et neutralelement for kompositionsreglen.
  3. .forall a .isin G .exist a^{-1} .isin G : a .comp a^{-1} = a^{-1} .comp a = e. Vi kræver at der eksisterer et inverst element for kompositionsreglen.
  4. G er abelsk, eller kommutativ, hvis der for alle a, b i G gælder: a .comp b = b .comp a.

Vi siger at G er en gruppe under den givne kompositionsregel, og vi skriver (G, ⭑). Det neutrale element kommuterer med alle elementer i G. Det inverse elementer er kommuterer med sin inverse. Produktet af et element med sig selv i forskellige potenser kommuterer, feks a²a? = a?a². Derudover er der ingen krav til at elementer i G skal kommutere før G er en gruppe. Bemærk at kravet om et neutralt element sikrer at en gruppe ikke er tom. Hvis G er en endelig mængde, er G også en endelig gruppe.

Eksempler:

  1. setZ, setQ, setR, setC er alle abelske grupper under + med e = 0, a^{-1} = -a.
  2. setQ .setminus {0}, setR .setminus {0}, setC .setminus {0}, setQ^{+}, setR^{+} er grupper under ⋅ med e = 1, a^{-1} = 1 .slash a, .forall a
  3. Restklasser mod n, hvor n er et positivt heltal, er en abelsk gruppe under den tidligere beskrevne addition. Neutralelementet er 0, og .forall overline a .isin setZ .setminus nsetZ : overline a ^{-1} = overline{-a}. Gruppen setZ .setminus nsetZ er altså for fremtiden en gruppe med addition som komposition.
  4. Restklasser mod n, hvor n er et positivt heltal, er en abelsk gruppe under multiplikation, som angivet tidligere, og vi skriver (setZ .setminus nsetZ)^{.setproduct} for denne gruppe.

Prop. 1 - Lad G være en gruppe under ⭑, da gælder:

  1. Identiteten i G er entydigt bestemt.
  2. For alle a i G er den inverse til a entydigt bestemt.
  3. .forall a .isin G : (a^{-1})^{-1} = a
  4. (a .comp b)^{-1} = (b^{-1}) .comp (a^{-1})
  5. Den associative lov gælder for en vilkårlig række af elementer i G. Den er generel.

Beviser:
(1) : Hvis både e_1, e_2 er identiteter i G, gælder der: e_1 .comp e_2 = e_2 .and e_1 .comp e_2 = e_1 .drarrow e_1 = e_2, og identiteten er entydigt bestemt.
(2) : Hvis både b og c er inverse til a, får vi:
a .comp b = e .and a .comp c = e .drarrow c = e .comp c CN_(def.2) c = (a .comp b) .comp c CN_(første del af konjunktionen) c = (b .comp a) .comp c CN_(def.iii) c = b .comp (a .comp c) CN_(def.i assoc) c = b .comp e CN_(anden del af konjunktionen) c = b CN_(def.ii)
(3) : Lad a .isin G. Her sker der det at: a .isin G .drarrow a^{-1} .isin G .drarrow (a^{-1})^{-1} .isin G osv. pga. def.3. Der gælder nu:
(a^{-1})^{-1} .comp (a^{-1}) = e .drarrow (a^{-1})^{-1} .comp (a^{-1}) .comp (a) = a .drarrow (a^{-1})^{-1} .comp (a^{-1} .comp a) = a .drarrow (a^{-1})^{-1} = a
(4) : Lad a, b, (a .comp b) .isin G (hvilket deres inverse også er ifg. def.3), og vi får:
(a .comp b)^{-1} .comp (a .comp b) = e .drarrow (a .comp b)^{-1} .comp (a .comp b) .comp (b^{-1}) .comp (a^{-1}) = (b^{-1}) .comp (a^{-1}) .drarrow (a .comp b)^{-1} .comp (a) .comp (b .comp b^{-1}) .comp (a^{-1}) = (b^{-1}) .comp (a^{-1}) .drarrow (a .comp b)^{-1} .comp (a .comp a^{-1}) = (b^{-1}) .comp (a^{-1}) .drarrow (a .comp b)^{-1} = (b^{-1}) .comp (a^{-1})
(5) : Udeladt da det e umiddelbart er for kluntet.

Herfra vil vi indføre 'misbrug' af notation og skrive en komposition af to elementer i en gruppe G som a ⋅ b eller bare ab istedet for a ⭑ b. Vi lader altså kompositionsreglen være implicit. Derudover skriver vi neutralelementet i G som 1 i stedet for e og ser bort fra parenteser da den associative lov gælder generelt for grupper. Netop pga. den generelle associative lov skriver vi xn istedet for xxx ⋅ ... ⋅ x(n gange).

Prop. 2 Lad G være en gruppe, og lad a, b ∈ G. Ligningerne ax = b og ay = b har entydige løsninger. Specielt holder højre- og venstre annuleringslov:

  1. au = av .drarrow u = v
  2. ub = vb .drarrow u = v

Bevis:
(1) og (2) : Gang med den inverse til a eller b på den respektive side og simplificer. Entydigheden kommer af at den inverse til hvert element er entydigt.

Definition Lad G være en gruppe. For et x ∈ G siger vi at ordnen af x er det mindste heltal, n, så x^n = 1. Vi skriver dette heltal som n = |x|. Vi siger at x har orden n. Hvis der ikke eskisterer et heltal hvilket x opløftet i giver 1, siger vi at x har uendelig orden.

Eksempler:

  1. Det eneste element i en gruppe med orden 1, er neutralelementet.
  2. I feks. gruppen (setR .setminus {0}, .sdot) har elementet -1 orden 2. Alle andre elementer der ikke er neutralelementet, har uendelig orden.
  3. I gruppen (setZ .setminus 12setZ, +) har elementet overline 4 orden 3 da overline{4 + 4 + 4} = overline 12 = overline 0.
  4. I gruppen (setZ .setminus 13setZ, .sdot) har elementet overline 3 orden 3 da overline{3 .sdot 3 .sdot 3} = overline 27 = overline 1

For en endelig gruppe kan vi opstille en såkaldt kompositionstavle. For setZ .setminus 5setZ ser den sådan her ud:

01234
001234
112340
223401
334012
440123

Den fungerer ligesom de der multiplikationstabeller i folkeskolen. Feks. aflæses overline 2 + overline 3 = overline 5 = overline 0 ved at vi går 2 hen og 3 ned og sætter fingeren. For store grupper med mange elementer bliver en kompositionstavle hurtigt uoverskuelig. Men den kan bruges til at skabe en generel forståelse ved mindre grupper.

Definition : Lad (G,⭑) og (H,⬩) være grupper. Da kalder vi funktionen defineret som følgende:

%phi(x .comp y) = %phi(x) .diamond %phi(y)

for en homomorfi, for hvilken gælder

  1. %phi(1) = 1
  2. %phi(x^{-1}) = %phi(x)^{-1}

Beviser:
(1) : %phi(1) = %phi(1)%phi(1)%phi(1)^{-1} = %phi(1 .comp 1)%phi(1)^{-1} = %phi(1)%phi(1)^{-1} = 1
(2) : Lad x ∈ G, og vi får:

%phi(x^{-1}) = %phi(x^{-1})%phi(x)%phi(x)^{-1} = %phi(x^{-1}x)%phi(x)^{-1} = 1%phi(x)^{-1} = %phi(x)^{-1}

Definition : Funktionen %phi : G .functo H er en isomorfi, og G og H er isomorfe, hvis:

  1. φ er en homomorfi.
  2. φ er bijektiv.

Vi skriver i så fald: G .isomorph H - at G er isomorf med H.