pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Intro

28-03-2016|Generelt Algebra

Talmængder

For to mængder, A og B, noteres følgende som (uddybning under generelt->formler->mængder):

  1. a .isin A , a er element i A.
  2. A .intersection B , fællesmængden, de elementer de to mængder har tilfælles.
  3. A .union B , foreningsmængden, mængden af alle elementer i A og B.
  4. B .subset A , B er en delmængde af A.
  5. A .setminus B , mængdedifferens, A fratrukket B.
  6. A .setproduct A , det kartesiske produkt, er mængden af alle ordnede par (a_1,a_2), a_1, a_2 .isin A.

Ordenen eller kardinaliteten af en mængde A betegnes |A|. Hvis A er endelig, er dens kardinalitet lig med antallet elementer i A.

En delmængde af mængden A noteres også som:

B = {a .isin A | (en eller anden relation) } eller B = {2 .sdot a | a .isin A}

Den første forstås som B er de elementer a i mængden A for hvilke gælder (en eller anden relationer). Den anden forstås som produktet (i dette tilfælde) af 2 med alle elementer i A. Det er måske nemmest at tænke på som at a gennemløber A. Generelt i matematik gælder at ovenstående relationer resulterer i en ny mængden eller et element.

Vi beskæftiger os med følgende talmængder (også angivet under generelt->formler->matematiske std. symboler):

  1. setN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} alle hele og positive tal
  2. setZ = {0, .plusmn 1, .plusmn 2, .plusmn 3, .plusmn 4, .plusmn 5...} alle hele tal (Zahlen)
  3. setQ = {a .slash b | a, b .isin setZ, b .ne 0} rationale tal eller brøker
  4. setR = {d_{1}d_{2}d_{3}...,a_{1}a_{2}a_{3}... | d_1 .isin setZ d, a .isin setN} de reelle tal eller decimaltal.
  5. setC = {a + bi | a, b .isin setR, i^2 = -1} de kompleske tal
  6. setZ^{+}, setQ^{+}, setR^{+} den positive del af den givne mængde (fratrukket 0)

Funktioner

En funktion noterer vi som f : A .functo B hvor A betegner definitionsmængden og B sekundærmængden (mere om det under generelt->formler->funktioner). Defineret på elementer skrives en funktion som f(a)=b.

En funktion f : A .functo B er veldefineret hvis der gælder følgende:

  1. .forall a .isin A .exist b .isin B : f(a) = b
  2. a_1 = a_2 .drarrow f(a_1) = f(a_2), a_1, a_2 .isin A, f(a_1), f(a_2) .isin B

(1) skal forstås som at der for hvert a i defintionsmængden skal eksistere et f(a) i værdimængden. Helt uformelt skal hvert element i def. mængden overføres til et eller andet af funktionen. (2) skal forstås som, at hvis to elementer i A er ens, må de ikke overføres til to forskellige elementer i B. En funktion overfører altså elementer entydigt.

Mængden:

f(A) = {b .isin B | b = f(a), a .isin A}

kaldes værdimængden eller billedet af A under f. Denne mængde er de elementer der overføres af f fra A til et element i B. B kan altså godt være en større mængde end de elementer der overføres fra A af f.

Mængden:

f^{-1}(C) = {a .isin A | f(a) .isin C}

kaldes for det inverse billede, og for ethvert b ∈ B kaldes det inverse billede for en fiber af f over b. Læg mærke til at det inverse billede ikke behøver være veldefineret.

Hvis f : A .functo B og g : B .functo C defineres det sammensatte billede som:

g .circ f : A .functo C, (g .circ f)(a) = g(f(a))

Hvis f : A .functo B gælder:

  1. f er injektiv: a_1 .ne a_2 .drarrow f(a_1) .ne f(a_2)
  2. f er surjektiv: .forall b .isin B .exist a .isin A : f(a) = b
  3. f er bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv
  4. f har en venstreinvers hvis der er en funktion g : B .functo Ag .circ f : A .functo A er identiteten på A. Altså hvis (g .circ f)(a) = a
  5. f har en højreinvers hvis der er en funktion h : B .functo Af .circ h : B .functo B er identiteten på B. Altså hvis (f .circ h)(b) = b

Prop. 1 Lad f være en funktion fra A til B.

  1. f er injektiv hvis og kun hvis f har en venstreinvers.
  2. f er surjektiv hvis og kun hvis f har en højreinvers.
  3. f er bijektiv hvis den er både venstre- og højreinvers.
  4. Hvis |A| = |B|, er f bijektiv hvis og kun hvis f er injektiv hvis og kun hvis f er surjektiv.

En permutation af en mængde A er en bijektion fra A til sig selv.

Lad A være en ikke-tom mængde. Da gælder følgende

  1. En binær relation på A er en delmængde, R, af det kartesiske produkt på A og betegnes a .sim b hvis (a,b) .isin R
  2. En binær relation på A er:
    1. refleksiv hvis a .sim a , .forall a .isin A
    2. symmetrisk hvis a .sim b .drarrow b .sim a, .forall a, b .isin A
    3. transitiv hvis a .sim b .and b .sim c .drarrow a .sim c, .forall a, b, c .isin A
    En binær relation er en ækivalensrelation hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
  3. Hvis ∼ er en ækv. relation på A, betegner {x .isin A | x .sim a} en ækv. klasse på a. Ethvert element i ækv. klassen er en repræsentat for klassen.
  4. En partition, eller klassedeling, på A er en familie af mængder {A_i | i .isin I}
    1. A = .union_{i .isin I}A_i
    2. A_i .intersection A_j = .empty, .forall i, j .isin I, i .ne j

Prop. 2 Lad A være en ikke-tom mængde.

  1. Hvis ∼ er en ækv. relation på A, udgør mængden af ækv. klasser af ∼ en klassedeling af A.
  2. Hvis {A_i | i .isin I} er en klassedeling af A, er der en ækv. relation på A hvis ækv. klasser er mængderne A_i, i .isin I

En klassedeling og en opdeling af en mængde i ækv. klasser er altså det samme.