pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Punkter

11-11-2015|Planen

Et punkt tegnes i et helt normalt koordinatsystem. Så vi starter med at undersøge et sådanne. Centrum eller punktet (0,0) hedder Origo, derudover har vi en x-akse og en y-akse der er vinkelrette eller ortogonale på hinanden. Vi indsætter et punkt (x,y) i koordinatsystemet ved at gå x skridt fra origo hen ad x-aksen og derefter y vinkelrette skridt op ad y-aksen. I Maple har jeg lavet plottet ved at sammensætte to plots. Først har jeg aktiveret with(plots); . Derefter har jeg sat følgende to variable:

p11:=implicitplot([x=2,y=2],x=-5..5,y=,5..5,color=gray);
p12:=pointplot([[0,0],[2,2]],color=[black,red]);
display(p11,p12);

display benyttes til at vise 2 eller flere plots i et og samme, og vi får:

Det sorte punkt er origo, det røde har koordinatet (2,2). Det vigtigste at tage med er at koordinatsystemet er vinkelret, dette danner nemlig grundlaget for at regne med punkterne.

Det første vi kan gøre, er at sætte endnu et punkt:

Der er afsat punkterne A(2,2) og B(4,4), de er trukket fra hinanden på følgende måde: ((4-2),(4-2)) = (2,2) der giver en trekant med kateter begge med længden 2. Givet det vinkelrette koordinatsystem er afstanden mellem de to punkter jo:

|AB| = .radic(2^{2} + 2^{2})

hvilket helt generelt leder os til:

Sætning v1
Afstanden mellem to punkter
A(x_{1},y_{1}) og B(x_{2},y_{2})
er fundet ved:
|AB| = .radic((x_{2} - x_{1})^{2}) + (y_{2} - y_{1})^{2})

Hvis de to punkter ligger vandret i forhold til hinanden i koordinatsystemet, er det selvfølgelig nok at trække de to x-koordinater fra hinanden når vi skal finde afstanden.

For at bevise sætning 1 er det nærmest nok at vi orienterer os lidt i koordinatsystemet. De to kateter er jo parallelle med akserne. Vi kan indsætte et punkt C med koordinaterne:

Og benytte pythagoras til at finde afstanden |AB|:

|AC| = |x_{2} - x_{1}| og |BC| = |y_{2} - y_{1}|

Vi får altså:

|AB|^{2} = |AC|^{2} + |BC|^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Vi tager kvadratroden på begge sider og vi får:

|AB| = .radic((x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2})

...