pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Kvadratsætninger

11-11-2015|Generelt

Kvadrasætningerne er meget anvendte sætninger. De kan bruges til at løse ligninger, lave beviser osv. og de lyder som følger.

1. kvadratsætning

Lad $a, b \in \mathbb{R}$. Da gælder $$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$$

Bevis

$$(a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$$ Læg mærke til at sætningen også gælder når $a$ eller $b$ er lig med $0$.

2. kvadratsætning

Lad $a, b \in \mathbb{R}$. Da gælder $$(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$$

Bevis

$$(a - b)^{2} = (a - b)(a - b) = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$$ Igen gælder sætningen hvis $a$ eller $b$ er lig med $0$.

3. kvadratsætning

Lad $a, b \in \mathbb{R}$. Da gælder $$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$$

Bevis

$$(a + b)(a - b) = a^{2} - ab + ba - b^{2} = a^{2} - b^{2}$$ hvor igen $a$ eller $b$ kan være lig med $0$.