pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Trekantsuligheden

11-11-2015|Generelt

Absolutte værdier

Trekantsuligheden er i reelle tal baseret på definitionen af den absolutte værdi af et tal. Denne lyder sådan her: $$ |a| = \begin{cases} a & hvis\ a \ge 0 \\ - a & ellers \end{cases} $$ Hvis $a \lt 0$, er $|a| = -(a)$. Hvis $a \geq 0$, er $|a| = a$. Der gælder altså at $|a| \geq 0$. Det kan også udtrykkes som at $|a|$ er lig det største af de to tal $-a$ og $a$. Den absolutte værdi bruges hovedsageligt til at angive længder eller afstande da disse ikke kan være negative.
Grafen ser således ud:

Med absolutte værdier gælder der først og fremmest at: $$|ab| = |a||b|

|a/b| = |a|/|b|$$ Hvilket er OK let at indse: et positivt tal er et produkt af to positive eller to negative tal. Det samme gælder for division.

Noget andet lidt mindre oplagt vi kan slutte af regning med absolutte tal, er trekantsuligheden. Den siger at:

Trekantsuligheden

For alle tal $a, b \in \mathbb{R}$ gælder at: $$|a + b| \leq |a| + |b|$$

Bevis

Der gælder at $$|a| \geq a \land |b| \geq b \Rightarrow |a| + |b| \geq a + b$$ Derudover gælder at: $$|a| \geq -a \land |b| \geq -b \Rightarrow |a| + |b| \geq (-a) + (-b) \Rightarrow |a| + |b| \geq -(a + b)$$ Da $|a + b|$ er lig det største af de to tal $-(a + b)$ og $(a + b)$, gælder der altså at: $$|a| + |b| \geq |a + b|$$

Trekantsuligheden - Variation

For alle tal $a, b \in \mathbb{R}$ gælder at $$||a| - |b|| \leq |a - b|$$

Bevis

Der gælder at: $$|a| = |(a - b) + b| \leq |a - b| + |b| \Rightarrow |a| - |b| \leq |a - b|$$ og deraf følger at: $$|b| - |a| \leq |b - a| = |a - b|$$ og beviset er slut.

Trekantsuligheden kan bruges i alle mulige matematiske sammenhæng, både grafiske og talmæssige. Tegnet med vektorer ser den således ud:

Og forstås geomtrisk som at summen af to siders længde, $a$ og $b$, i en trekant altid er længere end eller lig med længden af den sidste side, $a + b$. I vektorregning giver summen af to vektorer jo en ny vektor der sammen med de to oprindelige danner en trekant. Denne tolkning kan overføres til variationen af trekantsuligheden.