pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Metodisk

09-11-2015|Kontinuitet

En måde at undersøge om en funktion er kontinuitert på, er at analysere funktionen. Det hænger nemlig sådan sammen at de elementære funktioner er kontinuerte i deres defintionsmængde. Og der gælder for to eller flere funktioner der er kontinuerte i punktet a, at produktet, summen og differenses mellem funktionerne også er kontinuert i punktet a. Dette gælder også ved division så længe den funktion der divideres med, ikke har funktionsværdien 0 i punktet a.
Lad altså f og g være to funktioner der er kontinuerte i punktet a, da gælder at:

f(a) + g(a)
f(a) - g(a)
f(a) .sdot g(a)
f(a) / g(a), g(a) .ne 0

alle er kontinuerte. Og sådan kan vi faktisk undersøge mere komplekse funktioner, feks. er

f(x) = {cos(x) + x^2 - 20x + \radic x}over{x^2 + 2x + sin(x)}

kontinuert i alle punkter undtagen x = 0. Funktionen f(x) består nemlig funktionerne cos(x), x^{2}, 20x, √x, 2x, sin(x) og en division i mellem dem.

Udover de gængse operationer mellem to funktioner gælder der også, at hvis g er kontinuert i punktet a, og f er kontinuert i punktet g(a), så er den sammensatte funktion h(x) = f(g(x)) kontinuert i punktet a. Eksempel:

h(x) = sin(x^{2} + 2x)

kontinuert i hele det reelle talområde da f(x) = sin(x) er kontinuert i hele det reelle talområde, og da g(x) = x^{2} + 2x er kontinuert i hele det reelle talområde og derudover tilordner elementer i det reelle talområde. En sådan sammensat afbildning kan betegnes

h(x) = f .circ g(x) = f(g(x))

hvor

f : setR .functo setR eller f : setR .functo [-1,1]

og

g : setR .functo setR

og

h : setR .functo [-1,1]

...