pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Andengradsligninger

07-11-2015|Ligninger

Andegradsligninger er ligninger af typen $$ax^{2} + bx + c = 0, a \neq 0$$ hvor a, b og c er koefficienter for hvilke gælder at de er reelle tal. Bemærk at $a \neq 0$, hvis $a = 0$, er ligningen ikke en andengradsligning. Som med andre ligninger er $x$ typisk den variabel vi vil løse ligningen med hensyn til. Her er tre eksempler på andengradsligninger: $$ 3x^{2} - 2x - 1 = 0\ eks_1 \\ 0,5x^{2} - 2 = 0\ eks_2 \\ -2x^{2} + 4x = 0\ eks_3 $$ Som det ses, er vi altid interesseret i at finde ud af hvornår andengradsligninger giver $0$. Dette er ikke et tilfælde, en andengradsligning har nemlig med rødder og dermed med grafen for et poynomie at gøre. Mere om det senere.

  1. kan løses ved at sætte x = 1, denne løsning kan vi gætte os til. Men vi kan ikke være sikker på at det er den eneste løsning.
  2. feks. har både x = 2 og x = -2 som løsning da et negativt tal kvadreret bliver til et positivt. Dette gælder faktisk generelt for andengradsligninger, de har ofte to løsninger.
  3. kan omskrives ved brug af parenteser: $$-2x^{2} + 4x = 0 \iff 2x(2 - x) = 0$$ og nu kan vi givet nulreglen finde at $x = 0$ eller $x = 2$. Denne ligning har altså også to løsninger.

Helt generelt er det heldigvis sådan at der er et nyttigt værktøj til at løse de andengradsligninger der har en løsning. Dette værktøj hedder diskriminanten hvilket er et lidt spøjst navn til et matematiks værktøj, men det hedder den altså. Diskriminanten er en formel der giver andledning til

Sætning 1

For den generelle andengradsligning givet på formen: $$ax^{2} + bx + c =0, a \neq 0$$ med diskriminanten $d = b^{2} - 4ac$ gælder:

  • hvis $d \leq 0$ har ligningen ingen løsning
  • hvis $d = 0$ har ligningen netop en løsning: $$x = \frac{-b}{2a}$$
  • hvis $d > 0$ har ligningen to løsninger. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$$

Bevis for sætning 1

Vi bemærker følgende to identiteter som vi skal bruge: $$d = b^{2} - 4c\ \ [id_1]$$ og $$(p + q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2pq\ \ [id_2]$$

Derudover har vi jo tidligere antaget at $a \neq 0$, og vi omskriver fra en ende af: $$ ax^{2} + bx + c = 0 \iff \\ 4a^{2}x^{2} + 4abx + 4ac = 0 \iff 4a^{2}x^{2} + 4abx + 4ac + b^{2} = b^{2} \iff \\ 4a^{2}x^{2} + 4abx + b^{2} = b^{2} - 4ac \iff \\ (2ax + b)^{2} = b^{2} - 4ac\ [id_2] \iff \\ (2ax + b)^{2} = d\ [id_1] $$ Herefter kan vi kikke på de tre tilfælde af $d$:

  • Hvis $d \lt 0$ har: $$(2ax + b)^{2} = d$$ ingen løsning da venstre side af lighedstegnet altid er større end eller lig med $0$.
  • Hvis $d = 0$, har ligningen én løsning nemlig: $$(2ax + b)^{2} = 0 \iff 2ax + b = 0 \iff x = \frac{-b}{2a}$$ hvor den første implikationen er givet vha. nulreglen. Et kvadrat kan kun give nul hvis det tal der kvadreres, er nul.
  • Hvis $d \gt 0$, har ligningen to løsninger der kan findes ved følgende implikationer: $$ (2ax + b)^{2} = d \iff \\ 2ax + b = \pm \sqrt{d} \iff \\ 2ax = -b \pm \sqrt{d} \iff \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$$

Og sætningen er bevist.

Vi kan prøve at bruge den på et par af ligningerne i starten af afsnittet:

  • Vi vil bruge den på $-2x^{2} + 4x = 0$. Vi finder $$d = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot 0 = 16 - 0 = 16$$ vi har $$x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$$ og dermed $$x = \frac{-4 + \sqrt{16}}{-4} = 0 \lor x = \frac{-4 - \sqrt{16}}{-4} = 2$$
  • Vi vil bruge den på $2x^{2} + 2x + 1 = 0$. Vi får $$d = 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -4$$ og vi får løsnignern $x = 0$ eller $x = 2$.

Hvis en af koeffiecenterne $b$, $c$ er lig med $0$, kan vi løse ligningen uden brug af sætning 1. I tilfældet $c = 0$, bruges nulreglen, ligesom vi løste (3) i starten. Hvis $b = 0$, kan vi løse ligningen ved at rykke rundt på tallene som ved en normel ligningen, her er to eksempler:

  1. $$ 2x^{2} - 18 = 0 \iff \\ 2x^{2} = 18 \iff \\ x = \pm \frac{\sqrt{18}}{2} = \pm 3 $$
  2. $$2x^{2} + 2 = 0 \iff x^{2} = -1$$

Hvor det sidste eksempel ingen reel løsning har.

I Maple løses de fire ligninger ved "solve":

solve(3*x^2-2*x-1 = 0); solve(.5*x^2-2 = 0); solve(-2*x^2+4*x = 0); solve(2*x^2+2*x+1 = 0)

Hvor den sidste giver $x = -1/2+1/2I$, $-1/2-1/2I$ hvilket altså ikke har med reelle tal, men med komplekse tal at gøre.