pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Introduktion til ligninger

30-10-2015

En ligning er et udsagn, feks. Kan vi ud fra 2x = 5 slutte at x må være lig med 2,5 før at udsagnet er sandt. Et andet eksempel er 2 = 3 der aldrig er sandt – altså en modstrid. Eller 2 = 2 der er en tautologi. En ligning består af koefficienter, feks. er 2 og 3 koefficienter i ligningen 2x + 3 = 7 hvor 2 er førstegradskoefficient og 3 er en konstant.

Når vi løser ligninger, bruger vi normalt implikationer til at omskrive dem. Et eksempel på dette kan være ligningen: $$4x + 20 = 100 + 2x \Rightarrow$$ $$4x - 2x + 20 - 20 = 100 - 20 +2x - 2x \Rightarrow$$ $$2x = 80 \Rightarrow$$ $$x = \frac{80}{2} \Rightarrow$$ $$x = 40$$ Her ses det at vi kan regne os frem til et resultat af x ved at lægge til, trække fra og dividere på begge sider af lighedstegnet. Det er normalt at bruge en biimplikation (tegnet ⇔), men en sådan lægger op til at vi har forholdt os til en implikation der fører begge veje, og det er ikke altid tilfældet - vi regner jo kun en vej.

Vi kan altså lægge til på begge sider af lighedstegnet, vi kan trække fra, vi kan dividere og vi kan gange, dog kan vi kun gøre de sidste to hvis det vi ganger eller dividerer med, ikke er lig med 0. Hvis vi må gange med nul på begge sider, kan vi jo bevise enhver ligning. Feks. ville $$2 = 3 \Rightarrow 0 \cdot 2 = 0 \cdot 3 \Rightarrow 0 = 0$$ være en valid måde at ræsonnere på. At dividere med 0 medførerer generelt kaos.

Der er nogle nyttige regler forbundet med at løse ligninger:

Nulreglen

Et produkt er 0 hvis mindst en af faktorene er 0.

Eksempel: Vi skal løse ligningen $$2x^{2} - 8x = 0 \Rightarrow 2x(x - 4) = 0$$ hvilket vi efter implikationen kan gøre ved at bruge 0-reglen, altså må $$x = 0 \text{ eller } x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$$ for at udsagnet skal være sandt. Læg mærke til at de begge to godt må være opfyldt på én gang, kravet er bare at minimum en af dem er – altså en disjunktion.

På samme måde kan vi finde $$(3x - 9)(10y - 20) = 0 \Rightarrow x = 3 \lor y = 2$$ og $$(3x - 9)(10y - 20) = 0 \Rightarrow x = 3 \lor y = 2$$ hvor tegnet ∨ betyder "eller".

Gange over kors

Vi kan gange over kors hvis to brøker skal være lig med hinanden, altså har vi følgende implikation: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$$ Denne regel kan vi bevise ved at regne på den: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{abd}{b} = \frac{bdc}{d} \Rightarrow ad = bc$$ Her har vi antaget at b, d ≠ 0 før vi gangede, hvis bare en af dem var lig med 0, ville ligningen jo fra start af ikke give mening.

Eksempel på at gange over kors: $$\frac{2}{3} x = \frac{3}{4} \Rightarrow 8x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{8}$$