pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

Introduktion til ligninger

30-10-2015|Ligninger

En ligning er et udsagn, feks. Kan vi ud fra 2x = 5 slutte at x må være lig med 2,5 før at udsagnet er sandt. Et andet eksempel er 2 = 3 der aldrig er sandt – altså en modstrid. Eller 2 = 2 der er en tautologi. En ligning består af koefficienter, feks. er 2 og 3 koefficienter i ligningen 2x + 3 = 7 hvor 2 er førstegradskoefficient og 3 er en konstant.

Når vi løser ligninger, bruger vi normalt implikationer til at omskrive dem. Et eksempel på dette kan være ligningen:

4x + 20 = 100 + 2x .drarrow
4x - 2x + 20 - 20 = 100 - 20 +2x - 2x .drarrow
2x = 80 .drarrow
x = {80}over{2} .drarrow x = 40

Her ses det at vi kan regne os frem til et resultat af x ved at lægge til, trække fra og dividere på begge sider af lighedstegnet. For det meste bruges faktisk en biimplikation, men en sådan lægger op til at vi har forholdt os til en implikation der fører begge veje, og det er ikke altid tilfældet - vi regner jo kun en vej.

Vi kan altså lægge til på begge sider af lighedstegnet, vi kan trække fra, vi kan dividere og vi kan gange, dog kan vi kun gøre de sidste to hvis det vi ganger eller dividerer med, ikke er lig med 0. Hvis vi må gange med nul på begge sider, kan vi jo bevise enhver ligning, feks. ville

2 = 3 .drarrow 0 .sdot 2 = 0 .sdot 3 .drarrow 0 = 0

ligepludselig være sandt. At dividere med 0 medførerer bare generelt kaos.

Der er nogle nyttige regler forbundet med at løse ligninger:

Nulreglen
Et produkt er 0 hvis mindst en af faktorene er 0.

Eksempel
Vi skal løse ligningen

2x^{2} - 8x = 0 .drarrow 2x(x - 4) = 0

hvilket vi efter implikationen kan gøre ved at bruge 0-reglen, altså må

x = 0
eller
x - 4 = 0 .drarrow x = 4

for at udsagnet skal være sandt. Læg mærke til at de begge to godt må være opfyldt på én gang, kravet er bare at minimum en af dem er – altså en disjunktion.

På samme måde kan vi finde

(3x - 9)(10y - 20) = 0 .drarrow x = 3 .or y = 2

og

(3x - 9)(10y - 20) = 0 .drarrow x = 3 .or y = 2

hvor tegnet ∨ betyder "eller".

Gange over kors
Vi kan gange over kors hvis to brøker skal være lig med hinanden, altså har vi følgende implikation:

{a}over{b} = {c}over{d} .drarrow ad = bc

Denne regel kan vi bevise ved at regne på den:

{a}over{b} = {c}over{d} .drarrow bd .sdot {a}over{b} = bd .sdot {c}over{d} .drarrow {abd}over{b} = {bdc}over{d} .drarrow ad = bc

Her har vi antaget at b, d ≠ 0 før vi gangede, hvis bare en af dem var lig med 0, ville ligningen jo fra start af ikke give mening.

Eksempel på at gange over kors:

{2}over{3} x = {3}over{4} .drarrow 8x = 9 .drarrow x = {9}over{8}