pathterminuspages/brkmnd.dk/aboutcontactabout me

To ligninger med to ubekendte

06-11-2015|Ligninger

To ligninger med to ubekendte danner et ligningssystem vi kan løse på forskellige måder.

Lige store koefficienters metode

Denne metode handler om at vi givet to ligninger med to ubekendte kan trække dem fra hinanden. Men før vi gør det, kan vi forlænge dem så koefficienterne bliver lige store.

Eksempel
Vi får givet de to ligninger

3x + 4y = 50 CN_(1)
2x + y = 10 CN_(2)

Som vi forlænger

3x + 4y = 50 .drarrow 6x + 8y = 100
2x + y = 10 .drarrow. 6x + 3y = 30

trækker fra hinanden og isolerer y:

6x + 8y - (6x + 3y) = 100 - 30 .drarrow 5y = 70 .drarrow y = 14

Nu kan vi indsætte y i (2) og på den måde isolere x:

2x + y = 10 .drarrow 2x + 14 = 10 .drarrow 2x = -4 .drarrow x = -2

Til sidst kan vi indsætte x i (1) og isolere y:

3x + 4y = 50 .drarrow 3 .sdot (-2) + 4 y = 50 .drarrow 4y = 56 .drarrow y = 14

Som det ses, er fremgangsmåden at isolere den ene variabel i den ene ligning for så at indsætte den i den anden ligning og finde den anden variabel. For at gøre det skal der være to ligninger hvor deres forhold til de indbyrdes variable så bliver en slags betingelse. Ideen i at gøre koefficienterne lige store er at vi så får udryddet den ene af dem når vi trækker de to ligninger fra hinanden. På den måde er der kun en ubekendt at isolere.

Endnu et eksempel
Vi får givet de to ligninger

6x + 5y = 100 .drarrow 12x + 10y = 200 CN_(1)
10x + 10y = 300 CN_(2)

Vi trækker dem fra hinanden:

10x + 10y - (12x + 10y) = 300 - 200 .drarrow -2x = 100 .drarrow x = -50

Herefter indsætter vi i (2) det x vi har fundet:

10(-50) + 10y = 300 .drarrow -500 + 10y = 300 .drarrow 10y = 800 .drarrow y = 80

I dette tilfælde er det altså mere oplagt at benytte metoden på koefficienten foran y.
Faktisk kan ideen generaliseres til at gælde for variable også i stedet for kun at gælde for koefficienter.

Eksempel
Vi får givet lingingssystemet

2yx^{2} = 100 CN_(1)
2y^{2}x = 200 CN_(2)

Det første vi gør, er at bemærke at hverken x eller y kan være lig med 0 da 0 hverken er lig med 100 eller 200. Vi kan altså forlænge (1) med y og (2) med x, og vi får:

2y^{2}x^{2} = 100y
2y^{2}x^{2} = 200x

Vi kan nu trække de to ligninger fra hinanden:

2y^{2}x^{2} - 2y^{2}x^{2} = 200x - 100y .drarrow 0 = 200x - 100y .drarrow 100y = 200x .drarrow y = 2x

Dette kan vi indsætte i (2):

2xy^{2} = 200 .drarrow y^{3} = 200 .drarrow y = 200^{1/3} = 5,848

Da ^{3}\radic a = a^{1/3}. Vi indsætter så det funde y i (2), og vi får:

2y^{2}x = 200 .drarrow 2 .sdot (200^{1/3})^{2} .sdot x = 200 .drarrow 2x = 200 / 200^{2/3} .drarrow 2x = 200^{3/3 - 2/3} .drarrow x = {1}over{2} .sdot 200^{1/3} = 2,924

Og vi får at x = 2,924 og y = 5,848

Der er andre måder at løse to ligninger med to ubekendte. Faktisk er der en del. Det handler bare om at være lidt kreativ. Fremgangs er at isolere den ene ubekendte i den ene ligning, indsætte den i den anden ligning og så regne sig frem til et resultat.

Maple kan også løse to ligninger med to ubendte. Hvis vi feks. er givet ligningerne:

4x + 6y - 30 = 20
4y + 6 = 2

kan vi løse dem med følgende kommando i Maple:

solve(4x+6y-30=20 and 4y+6=2);

og vi får at x = 14, og y = -1.

Så nemt er det.